Deje $\Omega$ ser un proceso abierto, acotado de $\mathbb{R}^n$ $f: \overline{\Omega} \rightarrow \overline{\Omega}$ un contiuous función tal que $f(x)=x, \forall x \in \partial \Omega$.
Demostrar que $f(\overline{\Omega})=\overline{\Omega}$.
cómo resolverlo ? alguna idea por favor ?
El problema puede ser resuelto utilizando grado de la teoría.
Supongamos lo contrario, ese $f(\overline{\Omega})\subset\overline{\Omega}$ es estricta. Desde $f(\partial\Omega)=\partial{\Omega}\subset f(\overline{\Omega})$, entonces hay algunas $p\in\Omega$ tal que $p\notin f(\Omega)$.
Desde $p\notin\partial\Omega=f(\partial\Omega)=\mathbb{I}(\partial\Omega)$, $\text{deg}(f,\Omega,p)=\text{deg}(\mathbb{I},\Omega,p)=1$ por la de Poincaré-Bohl teorema.
Pero las propiedades básicas del grado que dar ese $\text{deg}(f,\Omega,p)\neq0\Longrightarrow\exists x\in\Omega$ tal que $f(x)=p$, por lo que tenemos una contradicción.
Tenga en cuenta que $\Omega$ puede ser escrito como una contables de la unión de distintos intervalos abiertos, es decir, $\Omega=\cup I_n$ donde $I_n=(a_n,b_n)$. A continuación, $f(a_n)=a_n$ $f(b_n)=b_n$ y debido a $f$ es continua, $f$ satisface el valor intermedio de la propiedad, por lo tanto, para cada una de las $u\in [a_n,b_n]$$f(a_n)\leq u\leq f(b_n)$, usted puede encontrar $v\in [a_n,b_n]$ tal que $f(v)=u$. Esto implica que $\overline{\Omega}\subset f(\overline{\Omega})$
Edit: Como Ayman señaló, que me demostró que $\overline{\Omega}\subset f(\overline{\Omega})$ y porque creo que esto puede ser de ayuda a alguien, no voy a eliminar la respuesta.
Observación: Cuando respondió a la pregunta, $\Omega$ fue un subconjunto de a $\mathbb{R}$.
Si $\Omega = \emptyset$, entonces hemos terminado.
El plan de vacío $\Omega$ (como se insinúa por JSchlather y Tomás) es mostrar que $f(\overline{U}) = \overline{U}$ para cualquier componente conectado,$U$$\Omega$. El resultado se sigue de esto, desde los componentes conectados de escape $\Omega$.
Ya sabemos $f(\overline{U}) \subset \overline{\Omega}$.
Ahora, $\overline{U}$ está conectado (desde $U$ está conectado), por lo $f(\overline{U})$ está conectado, ya que la imagen continua de un conjunto conectado está conectado.
En consecuencia, $f(\overline{U})$ se encuentra en su totalidad dentro de un componente conectado de $\Omega$.
Desde $f(x) = x$$\partial U \subset \overline{U}$,$f(\overline{U}) \subseteq \overline{U}$.
Por lo tanto, todos necesitamos a mostrar ahora es que $f(\overline{U}) \supseteq \overline{U}$.
Deje $B \supset \overline{U}$ ser un cerrado de bola barrio de $\overline{U}$. Extender $f$ a una función $F: B \to B$ por el mapa de identidad en $B\smallsetminus\overline{U}$. A continuación, $F$ fija el límite de $B$ (además de un montón de otros elementos de $B$), y es continua. También se $F$ es de $B\smallsetminus\overline{U}$ a sí mismo, y $\overline{U}$ a sí mismo. Por lo que será suficiente para mostrar que el $F$ es surjective para cualquier mapa de $F: B \to B$ a partir de una bola a sí mismo la fijación de la frontera.
Deje $N_1 \supseteq N_2 \supseteq \cdots$ ser una disminución de la secuencia de cerrado de bolas cuya intersección es $x$. Deje $K_i = F^{-1}(N_i)$. A continuación, $K_1 \supseteq K_2 \supseteq \cdots$ es una disminución de la secuencia de conjuntos cerrados tales que $F^{-1}(\mbox{int }N_i) \subset K_i$; en particular, $K_i$ es no vacío. (La frase en negrita es incorrecto, como se ha señalado por @G. Smith.)
Desde $B$ es compacto, la intersección de todos los $K_i$ es no vacío; llamarlo $\mathcal{K}$. A continuación, $f(\mathcal{K}) \subseteq N_i$ todos los $N_i$. Por lo tanto,$f(\mathcal{K}) = x$.
Ahora, $x$ fue arbitraria, por lo $f$ es surjective, y hemos terminado.
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