La sucesión {a_n} satisface que la distancia de cualquiera de sus términos al 2, es menor que 1; es decir, satisface que: ∀n∈N,|a_n-2|<1. Y, además, lim(n→∞) (a_n)=L.
Demuestre que la distancia de L a 2, es menor o igual que 1; es decir, demuestre que: |L-2|≤1
Bajo las mismas condiciones, ¿se puede garantizar que |L-2|<1 (la distancia de L a 2 es estrictamente menor que 1? Justifique su respuesta
Sea $\epsilon \geq 0$. Como la sucesión $ {a_n } $ es convergente, existe un natural $N$ para el cual, si $n \geq N$ entonces $|a_n-L|< \epsilon$. Así, por la desigualdad triangulas consigues $$ |L-2| \leq |L-a_N|+|a_N-2|<1+ \epsilon. $$ Como el $\epsilon$ escogido es arbitrario de lo anterior puedes concluir que $|L-2|\leq 1$.
Ahora, respecto a tu última pregunta, esto no puede ser garantizado. Para notar esto considera la sucesión $a_n=1+ \frac{1}{n}$.
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