Así que la afirmación "si 2 es impar, entonces 2 es par" es cierta.

Question

He estado teniendo un poco de problemas con las pruebas, y quisiera pedir un consejo para esta declaración. Ya he empezado a ella, sin embargo no estoy seguro de qué debía hacer a continuación.

Probar que si $n^2 + 10$ es impar, a continuación, $n$ es impar.

Mi respuesta hasta ahora: Supongamos que $n$ es un entero impar, y queremos demostrar a $n^2 + 10$ es impar. Existe una $k$ que $n=2k+1$. Sustituyendo a $n$, tenemos la...

$(2k+1)^2 +10$ = $n^2 = 10$

$4k^2 + 4k + 11$ = $n^2 +10$

Yo no estoy seguro de qué hacer a continuación.

EDIT: Gracias a todos por sus consejos y respuestas! Todos ellos eran brillantes y mi comprensión para todo tipo de pruebas es un heck de mucho mejor! Tan apreciada!

Answer 1

Para una prueba directa, debe asumir que $n^2 + 10$ es impar, y mostrar esto significa $n$ es impar. En su prueba, usted asume la $n$ es impar, que es lo que va a ser probada.

Para una demostración por contraposición, asumimos $n$ no es impar, es decir, que $n$ es aún, y mostrar esto significa $n^2 + 10$ es incluso. Así, suponiendo $n$ es incluso, existe un número entero $k$ tal que $n = 2k$. A continuación, sustituir $2k$ n en: $$n^2 + 10 = (2k)^2 + 10 = 4k^2 + 10 = 2(2k + 5)$$ which is clearly divisible by $2$ y es, por tanto, aún.

Recuerde, lo que el contrapositivo de una declaración es: demostrar $p \rightarrow q$, podemos probar la declaración equivalente $\lnot q \rightarrow \lnot p$.

Answer 2

Desafortunadamente, usted está trabajando hacia atrás. Usted tiene (casi) demostró que si $n$ es impar, entonces $n^2+10$ es impar.

Ahora, si quieres una prueba por contrapositivo (la forma más sencilla, la verdad), entonces supongamos que $n$ es incluso, y demostrar que $n^2+10$ es también incluso. Para una prueba directa, suponga que $n^2+10$ es impar, y demostrar que las $n^2$ entonces es impar, y por lo $n$ es un número impar (por qué?). Para una prueba por contradicción, supongamos que $n^2+10$ es extraño, pero a $n$ es aún, y obtener un absurdo.

Answer 3

Sus suposiciones son hacia atrás. Dado $n^2+10$ es extraño, que quieren demostrar que $n$ es impar. Quizás la manera más fácil de hacerlo es probando el contrapositivo, que puede ser enunciada como

Si $n$ es incluso, a continuación, $n^2 + 10$ es incluso.

Answer 4

Lo que quiero hacer es probar el contrapositivo en pruebas de este tipo. La tautología es $$(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P).$$

Probando: "Si $n$ es incluso, a continuación, $n^2+10$ es incluso" se le han demostrado su teorema original.

Answer 5

Si $n^2+10$ es impar, entonces $(n^2+10)-11$ es incluso. Por lo tanto, $n^2-1$ es incluso.

A continuación,$2|(n^2-1)=(n-1)(n+1)$. Como $2$ es primo, obtenemos $2|n-1$ O $2|n+1$. Por lo tanto $n-1$ es par o $n+1$ es regular, lo que demuestra que $n$ es impar.