Demostrar la desigualdad $1 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{3n-1} < 2$

Question

Demostrar la desigualdad $1 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{3n-1} < 2$ % todo $n \in \mathbb{N}$

Ha hecho la derecha, pero no puede hacer el lado izquierdo de la desigualdad. Para el derecho:

$\frac{1}{n} + \ldots + \frac{1}{3n-1} < \underbrace{\frac{1}{n} + \ldots + \frac{1}{n}}_{2n} = 2$

Ahora no he podido avanzar con la izquierda.

Answer 1

Sugerencia:

Mostrar $\dfrac{1}{n} \lt \dfrac{1}{n+k}+\dfrac{1}{3n-1-k} \lt \dfrac{2}{n} $ $0 \le k \lt n$

Entonces suma $k$