Problema con aplicación física de la Delta de Dirac

Question

Considerar el problema del movimiento de un proyectil en 2 dimensiones. El ángulo de lanzamiento es constante. Rango de proyectil, $x$, entonces sólo depende de la velocidad de lanzamiento, $v$, y está dada por \begin{equation} x=v^2, \quad v\in [0,1] \tag{1} \end{equation} La ecuación de arriba ha sido de carácter no dimensionalised (tomando el máximo rango como nuestra escala de longitud, y la máxima velocidad de lanzamiento como nuestra velocidad de la escala), por lo que todas las cantidades son adimensionales. Función de densidad de probabilidad de la velocidad de lanzamiento se supone uniforme sobre el intervalo de $[0,1]$: \begin{equation} f(v)=1, \quad \textrm{if}~v\in [0,1]\tag{2} \end{equation} y cero en caso contrario. Quiero encontrar p.d.f para el rango de proyectil, $x$. Una manera fácil de hacer esto \begin{equation} f(x)=\left| \frac{dv}{dx}\right|f(v)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x\in [0,1]\tag{3} \end{equation}

Sin embargo, yo quería resolver el mismo problema usando la función delta de Dirac: \begin{align} f(x) & =\int_0^1 dv~f(x|v)~f(v) \\ & = \int_0^1 dv~f(x|v) \\ & = \int_0^1 dv~\delta(v^2-x)\tag{4} \end{align} Aquí $f(~|~)$ denota condicional p.d.f.. la Última línea fue alcanzada debido a que para un determinado valor de $v$, lo cierto es que vamos a obtener el valor de $x$ que satisface la ecuación de $v^2-x=0$. Ahora puedo hacer uso de la identidad para la función delta \begin{align} \delta(g(x))=\sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\tag{5} \end{align} Aquí $x_i$ son raíces de la función $g(x)$, e $g'\equiv \dfrac{dg}{dx}$. Ahora $g(v)=v^2-x$, cuyas raíces se $\pm \sqrt{x}$. Rechazamos el negativo de la raíz debido a que $v\geq 0$. $g'=2v$. Por lo tanto \begin{align} f(x) & =\int_0^1 dv~\delta(v^2-x) \\ & = \int_0^1 dv~\frac{1}{2\sqrt{x}}\delta(v-\sqrt{x}) \\ & = \frac{1}{2\sqrt{x}}\tag{6} \end{align} lo cual es correcto.

Sin embargo, en lugar de $f(x|v)=\delta(v^2-x)$, igual podría haber comenzado con la ecuación de $f(x|v)=\delta(v-\sqrt{x})$, porque al menos según yo, el contenido físico de ambas ecuaciones es idéntico. Sin embargo, la última opción de los rendimientos de una manera totalmente diferente p.d.f.: \begin{align} f(x) & =\int_0^1 dv~\delta(v-\sqrt{x})=1\tag{7} \end{align} Yo no creo haber hecho nada malo matemáticamente (si tengo, por favor, señalar). Para un matemático de curso de las dos funciones son diferentes, y el hecho de que se produjo diferentes p.d.f.s no es de extrañar. Pero cuando las ecuaciones se ponen en su adecuado contexto físico, ambos tienen idéntico contenido físico (por lo que puedo ver). Este ejemplo hace que me pregunte si Delta de Dirac función puede ser utilizada de forma inequívoca en la solución de problemas físicos. Si bien este fue un problema simple, donde un segundo método de solución estaba disponible y así podríamos comparar, lo que se hace en las situaciones más complicadas donde tal comparación no es posible?

Answer 1

La ambigüedad se resuelve una vez que usted piensa acerca de la dimensión de la $\delta$-función. Es en realidad el método de la no-dimensionalization que llevó por el mal camino aquí. Dado $\delta(f(x))$, $\delta$- función de densidad, con inversa dimensiones de $f$. Es decir, $\delta(v^2 - x)$ tiene dimensiones de la inversa de la longitud de la $\delta(v-\sqrt{x})$ tiene dimensiones de la inversa de la raíz cuadrada de la longitud. Mirando la ecuación $$ f(x) = \int f(x\vert v)f(v)\mathrm{d}v,$$ se observa que el $f(x)$ se supone que tiene dimensiones de la inversa de la longitud, y $f(v)$ tiene dimensiones de la inversa de la velocidad. Desde $\mathrm{d}v$ tiene unidades de velocidad, se deduce que el $f(x\vert v)$ debe tener unidades de la inversa de la longitud de la ecuación a ser consistente. Por lo tanto, $\delta(v^2-x)$ es consistente mientras que $\delta(v-\sqrt{x})$ no lo es.

Answer 2

1. Además de la sugerencia de ACuriousMind para verificar dimensiones, podría integrar la distribución mal $$\delta(\sqrt{x}-v)=2v\delta(x-v^2)$$ over $x $ and see that you don't get the p.d.f. (2) that you started from, but instead a wrong distribution $f (v) = 2v$.

2. La moraleja es que el % de distribución delta de Dirac $\delta(g(x,v))$no solo depende en el apoyo $$\overline{\{(x,v)\in [0,1]^2~|~g(x,v)=0\}},$$ but also on the function $$%g.

Answer 3

La dimensionalidad es una manera de describir el problema. Otra forma es mantener en mente que la distribución de probabilidad conjunta tiene que ser parte de una forma de volumen en el espacio que es invariante bajo cada diffeomophism del sistema de coordenadas. Así, mientras que su declaración de que "las unidades no son un factor" es, estrictamente, la verdadera, la articulación función de densidad de probabilidad (PDF) el volumen de la forma de ser: $$\operatorname{d}P(x,v) = \delta\left(v - \sqrt{x}\right)\operatorname{d}v\operatorname{d}x,$$ can only correct when the range, $x$, is uniformly distributed and $\operatorname{d}P(v|x) = \delta\left(v - \sqrt{x}\right)\operatorname{d}v$. Put another way, the conditional form you gave $\operatorname{d}P(x|v) = \delta\left(v - \sqrt{x}\right)\operatorname{d}x$ is not invariant under diffeomophisms of $x$.

Lo siento, no vi el "no matemático" comentario. La parte importante es que usted puede cambiar su sistema de coordenadas y la respuesta que sale de cualquier integral ha de ser el mismo, siempre que las partes que integran más de corresponder. En este ejemplo se trabajó cuidadosamente para elegir escalas donde $x$ $v$ radio sin unidades, pero las ecuaciones que se tienen para el trabajo, incluso si usted elige diferentes unidades de $x$ sin cambiar las unidades de $v$.

En particular, en virtud de un simple reescalado $x \rightarrow ax$ funciones delta de obedecer: $$\delta(ax) = \frac{\delta(x)}{|a|},$$ y el cambio de coordenadas en la integral de los rendimientos de $\operatorname{d}x \rightarrow a \operatorname{d}x$. Así, en orden para cualquier valor promedio de una cierta cantidad $f(x)$, definido por $$\langle f \rangle \equiv \int f(x) \, \delta( g(x) )\operatorname{d}x,$$ to be invariant under rescaling of $x$, we need $g(x) = x$.

Answer 4

Respuesta de @Qmechanic, que la función delta de Dirac también depende de la forma funcional de su argumento, es correcta en lo que respecta a $\textit{dimensionless}$ ecuaciones. Respuesta de @ACuriousMind, que las dimensiones de la delta de Dirac correctamente dicta la forma funcional de su argumento, parece funcionar cuando se trata de con $\textit{dimensional}$ ecuaciones. En dimensiones de forma condicional p.d.f. $f(x|v)$ escrito como $\delta (\frac{v^2\sin(2\theta)}{2g}-x)$ o $\delta (\frac{v^2}{2g}-\frac{x}{\sin(2\theta)})$ o $\delta (\frac{v^2}{g}-\frac{2x}{\sin(2\theta)})$ etc., todos ellos parecen funcionar, hasta ahora, el argumento tiene dimensiones de la inversa de la longitud. Esto significa que si uno va a usar funciones delta de Dirac, uno tenía un mejor trabajo con dimensiones de ecuaciones. Sin embargo no va a ser un problema cuando se trata con intrínsecamente adimensional cantidades tales como el ángulo o la función de ángulo.

En resumen, esto significa que $\delta(f(x))=\delta(g(x))$ si y sólo si: (1)$f,g$ tienen dimensiones y sus dimensiones, es idéntico, (2)$f(x)=0\Leftrightarrow g(x)=0$, es decir, uno puede obtener la ecuación de $g(x)=0$ por medio de la manipulación de la ecuación ($f(x)=0$ y viceversa. No pude probarlo, pero los ejemplos que he trabajado hasta ahora, parece apoyar esta conclusión.