Muestran que

Question

Estoy pensando en la diversión siguiente problema en teoría del número:

Que $n \in \mathbb{Z}$ $n > 0$. Si $k$ es un entero no negativo, entonces $$\phi_k(n) = \sum_{1 \leq d \leq n, \, (d,n)=1} d^k.$$ Let $k $ be a nonnegative integer. Prove that $% $ $\sum_{d \mid n} \frac{\phi_k(d)}{d^k} = \frac{1^k + 2^k + \cdots + n^k}{n^k}.$

Así que mi intento inicial hasta el momento ha sido intentar reescribir la suma: %#% $ de #% usando la suma sobre la función de Möbius para escribir $$\sum_{d \mid n} \frac{\phi_k(d)}{d^k} = \sum_{d \mid n} \sum_{a \leq n, \, (a,n)=1} \left(\frac{a}{d}\right)^k = \sum_{d \mid n} \sum_{a \leq n} \sum_{b \mid (a,n)} \mu(b)\left(\frac{a}{d}\right)^k$ y luego con la esperanza de una simplificación. Pero parece que no puedo encontrar uno. ¿Me puede ayudar?

Answer 1

Comenzar por la observación de que $$\sum_{q|n} \sum_{1\le d\le n, \;(d,n)=q} d^k = \sum_{p=1}^n p^k$$ porque la izquierda es simplemente una clasificación de $1\le p\le n$ según el MCD de a$p$$n$.

Ahora re-escribir la izquierda como sigue: $$\sum_{p|n} \sum_{1\le d/q\le n/p, \;(d/p,n/p)=1} d^k = \sum_{p|n} p^k \sum_{1\le d/q\le n/p, \; (d/p,n/p)=1} \left(\frac{d}{q}\right)^k \\= \sum_{p|n} p^k \phi_k(n/q) = \sum_{p|n} \phi_k(q) \left(\frac{n}{p}\right)^k = n^k \sum_{p|n} \frac{\phi_k(q)}{q^k}.$$ De ello se sigue que $$\sum_{p|n} \frac{\phi_k(q)}{q^k} = \frac{\sum_{p=1}^n p^k}{n^k} = \frac{1^k + 2^k + \cdots + n^k}{n^k}.$$