Derivar los coeficientes durante el análisis de fourier

Question

Soy auto-estudio de las transformadas de Fourier, pero estoy atascado en un punto básico de la integración durante la derivación de una expresión para los coeficientes de la transformada de Fourier.

Para una función de período de $1$, la función puede ser escrito

$f(t) = \sum_{k=-n}^{n} C_k e^{2 \pi i k t}$

Ahora, con el fin de obtener una expresión para un determinado $C_k$ (que voy a llamar a $C_m$), que puedo hacer:

$f(t) = \sum_{k=-n,k =/= m}^{k=n} C_k e^{2 \pi i k t} + C_m e^{2 \pi i m t}$

$C_m e^{2 \pi i m t} = f(t) - \sum_{k=-n,k =/= m}^{k=n} C_k e^{2 \pi i k t}$

$C_m = e^{-2 \pi imt} f(t) - \sum_{k=-n,k =/= m}^{k=n} C_k e^{2 \pi i (k-m) t}$

La integración de todo el período de 0 a 1,

$C_m = \int_0^1 e^{-2 \pi imt} f(t) dt - \sum_{k=-n,k =/= m}^{k=n} C_k \int_0^1 e^{2 \pi i (k-m) t}$

lo que yo entiendo.

Durante la evaluación de $\int_0^1 e^{2 \pi i (k-m) t}$ por encima, me da

$[\frac{1}{2 \pi i (k-m)} e^{2 \pi i (k-m) t}]_{0}^{1} = \frac{1}{2 \pi i (k-m)} (e^{2 \pi i (k-m)} - e^0)$

Porque somos "la integración de todo el período", el $e^{2 \pi i (k-m)}$ plazo evalúa a $1$. ¿Alguien puede explicar qué significa esto?

Me trató de un simple caso de prueba con $n=2$, $m=1$, $A = 2 \pi i$:

$C_1 = \int_0^1 e^{-1At} f(t) dt - [\frac{C_{-2}}{-3A} (e^{-3A}-1) + \frac{C_{-1}}{-2A} (e^{-2A}-1) \frac{C_{0}}{-1A} (e^{-1A}-1) + \frac{C_{2}}{1A} (e^{1A}-1)]$

Tenía la esperanza de algunos términos que se iba a cancelar, pero supongo que estoy pensando acerca de esto en el camino equivocado de alguna manera.

Tal vez esta es una pregunta básica, pero cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Algunos de los términos que se cancele. El principal hecho de que no se han aplicado a la ecuación es que el $e^{2\pi i}=1$. Escrito con los términos de su última ecuación, se tiene $e^A=1$. Así, por ejemplo, tenemos $$e^{-3A}=(e^A)^{-3}=1^{-3}=1.$$ Que significa que todos los términos como $e^{-3A}-1$ igual$0$, por lo que usted puede cancelar la parte entera de la expresión.

Usted podría también aprovechar esta simplificación a donde se integran $$\int_{0}^1e^{2\pi i(k-m)t}\,dt=\frac{1}{2\pi i(k-m)}(e^{2\pi i(k-m)}-e^0)=\frac{1}{2\pi i(k-m)}(1-1)=0.$$ The intuitive way to state this (which is alluded to in the phrasing "integrating over the whole period") is that the function $e^{2\pi i(k-m)x}$ traces out a circle $(k-m)$ times as $x$ goes from $0$ to $1$. The integral essentially takes the average value here - and the average value taken over the circle has to be the center of the circle, which is $0$. (Uno puede argumentar que, el "promedio" tiene que ser corregido por las simetrías de un círculo, y el único punto satisfactorio que es el centro)