¿Es operador del ímpetu diagonal en representación de posición?

Question

Los elementos de la matriz del impulso del operador en la posición de la representación son:

$$\langle x | \hat{p} | x' \rangle = -i \hbar \frac{\partial \delta(x-x')}{\partial x}$$

¿Esto implica que $\langle x | \hat{p} | x' \rangle = 0 $ siempre $x \neq x'$? Es el impulso operador diagonal en la posición de la representación?

Sé que el impulso operador no debe ser diagonal en la posición de la representación (lo contrario de problemas para el eigenergies y funciones propias de la mayoría de los Hamiltonianos sería trivial). Obviamente estoy confundido aquí. Necesito más que de sí/no respuestas a estas preguntas. Necesito alguna explicación, o algo de intuición.

Answer 1

Hay una heurística manera de ver esto.

La delta de Dirac función corresponde a un aumento cuando su argumento es cero. Se puede ver como el límite de una secuencia de Gauss funciones cuyas áreas son todos uno, pero cuyo ancho se va a cero. La derivada de una función Gaussiana se parece a esto:

Así, en el límite, la derivada de la función de Dirac es algo así como una espiga infinitesimalmente a la izquierda del origen, seguido por un pico de infinitesimalmente a la derecha. Así que los elementos de la matriz que está buscando en realidad no son diagonales, son infinitesimalmente fuera de la diagonal.

Estos tipos de heurística puede ser útil, pero también puede ser peligroso, así que no te tomes lo que digo demasiado literalmente.

Actualización: Otra manera de ver esto es el enfoque derivado de la delta de Dirac a través de un discretisation. Si la función de onda es representado por un vector de muestras igualmente espaciadas, la derivada puede ser representado por el centro de diferencias. Suponiendo periódico de las condiciones de contorno obtenemos una matriz como:

$\frac{1}{2}\pmatrix{ 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ }$

Tenemos 1 solo por encima de la diagonal y -1 justo debajo. Como el discretisation obtiene más fino obtenemos una matriz donde las entradas son más y más concentrada cerca de la diagonal, aunque todos los de la no-cero de los términos fuera de la diagonal. En el límite se puede volver a imaginar algo que es infinitamente fuera de la diagonal.

Answer 2

OP escribió (v1):

¿Esto implica que $$\tag{1}\langle x | \hat{p} | x^{\prime} \rangle = 0$$ whenever $x \neq x^{\prime}$?

Para dos fijos los valores de $x \neq x^{\prime}$, la respuesta es Sí $^1$. Pero no trate de integrar (1) $x$ o $x^{\prime}$, es decir, tratar a $x$ $x^{\prime}$ como parámetros de funcionamiento.

Es el impulso operador diagonal en la posición de la representación?

No. Si la posición de autoestados $(| x \rangle)_{x\in\mathbb{R}}$ tanto diagonalized la posición de operador de $\hat{x}$ y el impulso operador $\hat{p}$, este sería, por ejemplo, implica que viajan, que sabemos que no, cf. el CCR.

El de arriba aparentes paradojas están arraigadas en equivocadamente pensando en una distribución, decir $\delta(x)$, como una función de $\mathbb{R}$ $[0,\infty]$(que toma el valor de $\infty$ en el punto de $x=0$). Esta es una insuficiencia de la imagen. Las distribuciones debe ser entendido como un adecuado límite de funciones comunes, o se define con la ayuda de las funciones de prueba.

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$^1$ Esto se relaciona con la distribución de $\delta^{\prime}(x)$ sólo tiene apoyo en $x=0$.

Answer 3

Además de respuesta de Qmechanic, esto es lo que sucede cuando usted integrar $x$ con una función de prueba, que es en realidad lo que tienes que hacer para que la expresión a ser realmente significativo. Así que vamos a utilizar $f(x)$ como una función de prueba $^1$ e integrar:

$$-i \hbar \int dx \frac{\partial}{\partial x}f(x)\delta(x-x') = -i\hbar f'(x')$$

Así que en general no es cero.

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$^1$ $f$ Es diferenciable.

Answer 4

De Dirac, para el continuo autovalores:

1) la generalizada operador de la unidad se define como $\delta(\xi'-\xi'')$ (por analogía con el caso discreto, donde $ I = \delta_{ij}$).

2) Una representación de un Hermitian operador $\xi$ se dice diagonal al $\langle \xi' | \xi | \xi'' \rangle = \xi' \delta(\xi' - \xi'') $

3) Generalizado de la multiplicación de la matriz se define por: $$\langle\xi' | \alpha \beta | \xi'' \rangle = \int \langle \xi' | \alpha | \xi''' \rangle d \xi''' \langle \xi''' | \beta | \xi'' \rangle $$

4) Un general de la diagonal de la matriz se define como uno que conmuta con la generalización de la matriz de punto 2) (de nuevo, de forma análoga con la discreta caso).

5) la Aplicación de esta commutability criterio para la generalización de la matriz de elementos de otro operador $\omega$, se encuentra esta matriz es diagonal cuando:
$$(\xi' - \xi'') \langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = 0 $$

Esta relación se satisface cuando: $$\langle \xi' | \omega | \xi'' \rangle = c' \delta ( \xi' - \xi'') $$ por la definición básica de la $\delta$ función, pero no es satisfecho por el impulso de elementos de la matriz. Por lo tanto, el impulso no es diagonal (que ya conocía).