Supongamos, como en aquí Medibles de la estructura en el espacio de probabilidad medidas que $X$ es localmente compacto polaco espacio. A continuación, puede lo mismo puede decirse de la $P(X)$, su probabilidad de medidas con débil * la convergencia? Solo encuentro a faltar local de la compacidad y la exhaustividad relativa a una metrization ahora, como me di cuenta de que la apelación a la 1 punto compactification de X ayuda. (Este proceso le da un espacio más grande que en realidad es un espacio métrico.)
Respuesta
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Que $P(X)$ es el polaco es cierto y se puede encontrar en muchos libros; véase por ejemplo el Capítulo 17 de Kechris' Clásico descriptivo de la teoría de conjuntos. Una manera de demostrarlo es observar que, denotando por $\widehat X=X\cup\{\infty\}$ el punto de compactification de $X$, el espacio de $P(X)$ puede ser identificado con $G=\{ \mu\in P(\widehat X);\; \mu(\{\infty\})=0\}$, $G_\delta$ en el compacto metrizable espacio de $P(\widehat X)$, y por lo tanto polaco.
Por otro lado, $P(X)$ no es localmente compacto, a menos $X$ es compacto.
Por simplicidad, consideremos $X=[0,\infty)$. Tomar cualquier barrio de $\mathcal U$$\delta_0$$P(X)$. Entonces usted no tendrá ningún problema para mostrar que uno puede encontrar la $\varepsilon >0$ tal que $(1-\varepsilon)\delta_0+ \varepsilon \delta_a\in\mathcal U$ por cada $a\in\mathbb R$.
Ahora tomar una secuencia $(a_n)$ tendiendo a $\infty$ y poner $\mu_n:=(1-\varepsilon)\delta_0+\varepsilon\delta_{a_n}$. A continuación, $(\mu_n)$ es una secuencia en $\mathcal U$ que no tiene larga de la convergencia en $P(X)$. (La secuencia de $(\mu_n)$ es de curso convergente en $P([0,\infty])$, pero el límite de $(1-\varepsilon)\delta_0+\varepsilon\delta_\infty$ no $P(X)$). Por lo $\mathcal U$ es, ciertamente, no compacto.
Exactamente el mismo argumento que da el resultado de un general localmente compactos y no compactos $X$.
