La suma de dos irracionales particulares es irracional

Question

Estoy tratando de demostrar que un número racional digamos, $Q$ más dos números irracionales específicos, $\frac{\pi}{4}$ y $\ln(2)$ , producirá un número irracional.

Me doy cuenta de que si puedo mostrar $\frac{\pi}{4} \pm \ln(2)$ es irracional entonces $Q$ además ese resultado también será irracional.

Me siento atascado porque sé que los irracionales no se cierran bajo la adición y no creo que $\frac{\pi}{4} \pm \ln(2)$ producirá un racional, pero ¿cómo puedo demostrarlo rigurosamente?

Mi pregunta explícita es: ¿Un número racional $Q + \frac{\pi}{4} + \ln(2)$ produce un número racional y hace Q + $\frac{\pi}{4} - \ln(2)$ produce un número racional?

Answer 1

La trascendencia de $\pi/4\pm \log2$

Es posible responder a tu pregunta a partir de este documento que he enlazado: http://www.math.tifr.res.in/~saradha/tij.pdf

Teorema 1: Si $T$ se define por $$ T=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(\alpha n + \beta)}{(qn+s_1)(qn+s_2)} $$ donde $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{Q}}$ , $s_1, s_2\in\mathbb{Z}$ , $|\alpha|+|\beta|>0$ y el polinomio ciclotómico $\Phi_{2q}$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ , $qn+s_1$ , $qn+s_2$ no desaparecen cuando $n\geq 0$ y asumir $\alpha\neq 0$ si $s_1\equiv s_2$ mod $q$ . Entonces $T$ es trascendental.

Aplicamos el teorema para $\pi/4\pm \log 2$ . Tenga en cuenta que de la serie de Taylor, $$ \pi/4= 1-\frac13+\frac15-+\cdots, \ \ \log2= 1 - \frac12 + \frac13 -+ \cdots, $$ Así, $$ \pi/4+\log 2 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac1{2n+1} + \frac1{n+1} \right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{6n+4}{(2n+1)(2n+2)}, $$ $$ \pi/4-\log 2 = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left(\frac1{2n+1} - \frac1{n+1} \right)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{-2n}{(2n+1)(2n+2)}. $$

Por lo tanto, por el Teorema 1, los números $\pi/4\pm \log 2$ son trascendentales, por lo tanto irracionales.

Apéndice

Aplicando el Teorema 2 del documento y Cómo encontrar esta suma $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}$ obtenemos que $$ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}=\frac14\left(\frac{\pi}{\sqrt 3} - \log 3\right) $$ es trascendental.

Un resultado general

Como señala @Ted Shifrin, un resultado general de este tipo puede demostrarse mediante el teorema de Baker (que es una generalización de Gelfond-Schneider):

[Teorema de Baker]

Si $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ son números algebraicos, no $0$ o $1$ . Si $\log\alpha_1, \ldots, \log\alpha_n$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ entonces $1, \log\alpha_1, \ldots, \log\alpha_n$ son linealmente independientes sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ .

Utilizando $\log(-1)=i\pi$ y el Teorema fundamental de la aritmética vemos que $\log(-1), \log 2, \log 3$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Así, por el teorema de Baker, $1, \log(-1), \log 2, \log 3$ son linealmente independientes sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ . Esto implica que si $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ son algebraicas y no todas cero, entonces $$ \beta_1 \pi+\beta_2 \log 2 + \beta_3 \log 3 $$ es trascendental.