G/H es Hausdorff implica que H es cerrado (topología General, el Volumen 1 de N. Bourbaki)

Question

Estoy leyendo de topología General, el Volumen 1 de Nicolas Bourbaki. Me refiero a la prueba de la Proposición 13. Podría alguien por favor, explícame el G/H Hausdorff $\implies$ H cerrado parte de la prueba? Entiendo que $H$ es un equivalente de la clase para la relación $x^{-1}y \in H$ poco, pero me estoy cayendo para ver cómo la Hausdorffness se refiere a $H$ está cerrado. También estoy tratando de entender el conversar parte de la prueba, que creo que sería más acertado en hacer por lo que si entiendo la primera parte de la primera. Estoy tratando de auto-aprender la topología, y me disculpo por la stupidness de mis preguntas en este sitio. Gracias de antemano.

Answer 1

Si $G/H$ es Hausdorff entonces cada $x \in G\setminus H$ tiene un barrio distinto de $H$. Esto significa $G\setminus H$ es un conjunto abierto, siendo la unión de bloques abiertos, lo que significa que $H$ es cerrado.

Answer 2

Vamos a empezar con las definiciones. Si $G/H$ es Hausdorff, entonces dados cualesquiera dos puntos distintos, puedo poner abrir bolas alrededor de ellos que no se cruzan. Vamos a un tal punto de ser la órbita de 1, es decir,$1\cdot H=H$, y deje $gH$ ser cualquier otro punto. Entonces, puedo poner una bola abierta en torno a $gH$ que no contenga $1\cdot H$. Ahora, usted necesita para utilizar la definición de la topología cociente: una bola en $G/H$ es abierto si su preimagen en $G$ está abierto. Así que puedo poner una bola abierta en torno a $g$ que no se intersectan $H$. Que es una caracterización de $G\backslash H$ que está abierta.

Answer 3

$G/H$ es Hausdorff implica que $G/H$ $T_1$ implica que el singleton que contiene el coset $eH$ es cerrado, y por la definición de la topología cociente, esto es cierto si y sólo si su preimagen en virtud de la proyección canónica es cerrado, por lo tanto, si y sólo si $H$ es cerrado en $G$.