Es bien sabido que tanto la secuencia de espacios de $c$ $c_0$ han duales que son isométricamente isomorfo a $\ell^1$. Ahora, $c_0$ es un subespacio de $c$. Mi pregunta: ¿existe una aún menor subespacio de $c$ cuyo doble es isométricamente isomorfo a $\ell^1$? De manera más general, hay una caracterización de preduals de $\ell^1$? Las referencias son la mayoría de la recepción.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Preduals de $\ell_1$ son muy interesantes criaturas. La pregunta es un poco mal planteado pero permítanme comentar que de todos modos.
Tenemos un buen montón de isométricos preduals de $\ell_1$. De hecho, para cualquier countably infinito número ordinal $\alpha$ (dotado con el fin de topología) tenemos $C_0(\alpha)^* \cong \ell_1$. Básicamente, esto se sigue de la Riesz–Markov–Kakutani representación teorema de cada medida en un espacio de este tipo tiene que ser atómica.
Tenga en cuenta que $c_0 = C_0(\omega)$ $c=C(\omega+1)$ son isomorfos. En realidad, para cada una de las $\alpha\in [\omega, \omega^\omega)$ tenemos $C_0(\alpha) \cong c_0$. Sin embargo, no existe $\aleph_1$ muchas contables ordinales que dar de pares no isomorfo los espacios de Banach. Para ser más precisos, si $\alpha, \beta$ son contables ordinales, a continuación, $C(\omega^{\omega^\alpha}+1)$ $C(\omega^{\omega^\beta}+1)$ son isomorfos si y sólo si $\alpha = \beta$.
Históricamente, el primer ejemplo, distintos de los anteriormente mencionados fue debido a Y. Benyamini y J. Lindenstrauss:
Y. Benyamini y J. Lindenstrauss. Un predual de $\ell_1$ que no es isomorfo a un $C(K)$ espacio, Israel J. Math. 13 (1972), 246-254.
Johnson y Zippin demostró que cada isométrica predual es un cociente de $C(\Delta)$ donde $\Delta$ es el conjunto de Cantor.
W. B. Johnson y M. Zippin, Cada separables predual de una $L_1$-espacio es un cociente de $C(\Delta)$, Israel J. Math. 16 (1973), 198-202.
Este resultado, combinado con una vieja resultado de Pełczyński
A. Pełczyński, los espacios de Banach en el que cada incondicionalmente convergentes operador es débilmente compacto, Bull. Acad. Pol. Sci. La Ser. De matemáticas. Astr. Phys. 10 (1962), 265-270.
la afirmación de que un operador $T\colon C(K)\to X$ es débilmente compacto si y sólo si a no es acotado abajo en cualquier isomorfo copia de $c_0$ se obtiene el siguiente corolario:
Corolario. Cada isométrica predual de $\ell_1$ contiene un subespacio isomorfo a $c_0$.
En algún sentido esta respuestas OP pregunta.
Uno puede preguntarse si el conjunto de Cantor en la declaración de la Johnson–Zippin teorema puede ser sustituido por una contables compacto Hausdorff espacio. Este no es el caso, como se muestra por D. Alspach:
D. E. Alspach, Un $\ell_1$-predual que no es isométrico a un cociente de $C(\alpha)$, Contemp. De matemáticas. 144, Amer. De matemáticas. Soc., (1993), 9-14.
Por otro lado, Gasparis construido algunos de los nuevos preduals de $\ell_1$ cuales son los cocientes de $C(\alpha)$:
I. Gasparis, Una clase de $\ell_1$-preduals que son isomorfos a los cocientes de $C(\omega^\omega)$, Studia Matemáticas. 133 (2) (1999), 131-143.
Ya que no hay una caracterización de los subespacios complementados de $C(K)$-espacios, este resultado también es digno de mención:
I. Gasparis, Un nuevo isomorfo $\ell_1$ predual no isomorfo a un subespacio complementado de una $C(K)$ espacio, Bull. Londres Matemáticas. Soc. 45 (2013), 789-799.
Si usted está interesado en espacios cuyo doble espacio sólo es isomorfo a$\ell_1$, entonces la situación es aún más emocionante. J. Bourgain y F. Delbaen construido isomorfo preduals sin subespacios isomorfos a $c_0$:
J. Bourgain y F. Delbaen, Una clase especial de $\mathscr{L}_\infty$-espacios, Acta de Matemáticas. 145 (1980), 155-176.
Estos espacios, en realidad tiene la propiedad de Schur , así como el Radon–Nikodym propiedad!
Una variación reciente de la BD de la construcción es el famoso Argyros–Haydon el espacio, el cual es isomorfo $\ell_1$-predual con la propiedad de que cada operador en este espacio es de la forma $cI + K$ donde $c$ es un escalar y $K$ es un operador compacto.
S. A. Argyros y R. G. Haydon, Un Hereditariamente Indecomposable $\mathscr{L}_\infty$-espacio que resuelve el escalar-plus-compacto problema, Acta de Matemáticas. 206 (2011), no. 1, 1-54.
Incluso, más recientemente, Spiros A. Argyros, Ioannis Gasparis y Pavlos Motakis construido un $c_0$-asintótica $\ell_1$-predual sin copias de $c_0$:
S. A. Argyros, I. Gasparis y P. Motakis, En la estructura de la separables $\mathcal{L}_\infty$-espacios, preprint, 2015.
Una buena visión general de la BD-espacios (y algunas nuevas variantes de la Argyros–Haydon espacio) puede ser encontrado en Matt Tarbard la tesis de Doctorado:
M. Tarbard, los Operadores en Espacios de Banach de Bourgain–Delbaen Tipo, Tesis doctoral, Universidad de Oxford, 2012.
También recomiendo el siguiente trabajo de M. Daws, R. Haydon, Th. Schlumprecht y S. Blanco
M. Daws, R. Haydon, Th. Schlumprecht, y S. White, Cambio de invariantes preduals de $\ell_1(\mathbb{Z})$, Israel Diario de Matemáticas, 192 (2012), 541-585.
lo que explica estas sutilezas muy bien.
Laustsen y yo mismo, hemos expuesto una versión de la Argyros–Haydon espacio en el que el álgebra de operadores acotados tiene ciertas peculiares propiedades:
T. Kania y N. J. Laustsen, estructura Ideal de la álgebra de acotado a los operadores que actúan en un espacio de Banach, preprint 2015, 21 pp.
Permítanme terminar con un problema abierto (creo) que me gusta mucho:
Problema. Podemos construir fácilmente $\aleph_1$ muchos isométrica preduals de $\ell_1$. Podemos construir en $\mathsf{ZFC}$ continuum muchos isométrica preduals de $\ell_1$?
