¿Cómo puedo ver que cualquier campo automorphism de $\mathbb{Q}_p$ es continua?
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- Un automorfismo del campo de $p$ -número de radicales (3 respuestas )
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AreaMan
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Sólo hay un campo automorphism de $Q_p$, que es, quizás, su motivación para hacer esta pregunta.
La idea es mostrar que la valoración no cambia. Supongamos que $\phi$ es su campo automorphism, y que un elemento distinto de cero $a$ $Q_p$ se descompone como $a = p^n u$, $u$ es una $p$-ádico de la unidad. A continuación,$\phi(a) = p^n \phi(u)$. Por lo tanto, si se demuestra que $\phi(u)$ es un p-ádico de la unidad (una unidad en $Z_p$), entonces se sigue que $\phi(a)$ $a$ tienen el mismo $p$-ádico de valoración. Se sigue de esto que $\phi$ es continua.
Para ello, uno quiere una intrínseca algebraicas caracterización de la $p$-ádico unidades. Aquí está:
$x \in Q_p^*$ es un p-ádico de la unidad de iff $x^{p-1}$ $n$th raíces de un número infinito de valores de $n$.
Prueba: Estamos tratando de resolver la ecuación de $y^n = x^{p-1}$ dentro de $Q_p$ algunos $n$.
La solución de $p$-ádico ecuaciones generalmente se reduce a Hensel del lema (la formal teorema de la función inversa), así que sólo tenemos que resolver esta ecuación mod p y comprobar que la derivada es cero en la solución.
Si $x$ es una unidad, esto es la afirmación de que hay infinidad de $n$ coprime a $p$ que $y^n = 1$ - es evidente que hay una solución en $Z/pZ$, y luego usamos coprimality de $n$ $p$a levantar por Hensels lema.
Por otro lado, si hay infinitamente muchos $n$ para que esta ecuación puede resolverse, acabamos de calcular las valoraciones para obtener $n v(y) = (p -1) v(x)$. Ahora si $v(x) \not = 0$ podemos deducir que $n$ divide $(p-1)$ para infinidad de $n$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto,$v(x) = 0$, por lo que es una unidad.
orangeskid
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SUGERENCIA:
El automorphism es la identidad en $\mathbb{Q}$. Vamos a mostrar que $v_p(\phi(x)) = v_p(x)$ todos los $x \in \mathbb{Q}_p$. Asumir lo contrario. Luego multiplicando por algún poder de $p$ (y criar a algunos de potencia) podemos suponer que la $v_p(x) \ge 3$ mientras $v_p(\phi(x)) = 0$. Deje $y \in \mathbb{Z}$, de modo que $1 + y \phi(x)$ no es un cuadrado mod $p$. A continuación, $1 + y \phi(x)$ no es también una plaza en $\mathbb{Q}_p$. Sin embargo, $1 + y x$ es un cuadrado en $\mathbb{Q}_p$$\phi(1 + y x) = 1 + y \phi(x)$, contradicción.
Resulta que $\phi$ será la identidad, puesto que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{Q}_p$.
