En un intento de probar que cada grupo $G$ de orden 6 es isomorfo a $\mathbb{Z}_6$ o $S_3$, me topé con un peculiar problema.
Podemos utilización del Teorema de Cauchy para argumentar que, dado que $|G|=3\cdot2$, $G$ necesariamente debe tener elementos de órdenes 1, 2, y 3. Otra posibilidad es que existe un elemento de orden 6 en $G$. Ahora, supongamos que esto es cierto, entonces, $G$ es cíclico de orden 6, lo que implica que $G\cong \mathbb{Z}_6$.
Alternativamente, supongamos que $G$ contiene sólo los elementos de órdenes 1, 2, y 3. Entonces... (y aquí es donde parece ser la parte más difícil)
No necesariamente debe ser sólo dos elementos de orden 3. Si hay más de dos elementos de orden 3, a continuación, para algunos $a\in G$ s.t. $a^3=1$, $a^2=b$, donde $|b|=2$ o $|b|=3$. Supongamos que $b$ es de orden 2. A continuación, $a^2a=1$ implica que el $a^2 = a^{-1}$, lo $|b|\ne 2$. Llegamos a la conclusión de que $b$ es de orden 3. Entonces $a_1^2 = b_1$, $a_2^2=b_2$, $a_3^2=b_1$ o $a_3^2=b_2$. Pero esto implica que $a_3=a_1$ o $a_3 = a_2$. Por lo tanto, $G$ debe contener dos elementos de orden 3.
Ahora podemos definir una bijective homomorphism entre el$G$$S_3$, lo que implica que $G\cong S_3$.
Me pregunto, sin embargo, si hay una manera más simple de demostrar que no necesariamente debe ser exactamente dos elementos de orden 3 en $G$.