Termodinámica de las relaciones de Gibbs-Duhem

Question

Dado el Gibbs-Duhem relación $V dp = N d \mu + S dT$, Estoy teniendo problemas derivados de la siguiente identidad:

$\ \left(\frac{\partial N}{\partial \mu}\right)_{V,T} = N \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_T$

El problema es que las variables $N$ $\rho$ no aparecen como infinitisemals en la ecuación. ¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

$\left( \frac {\partial N} {\partial \mu} \right)_{V,T} = \left( \frac {\partial (\rho V) } {\partial \mu} \right)_{V,T}$ desde $V$ constante, esto es igual a: $\left(V \frac {\partial \rho} {\partial \mu} \right)_{V,T}$.

Desde allí se puede poner: $\left(V \frac {\partial \rho} {\partial p} \frac {\partial p} {\partial \mu} \right)_{V,T}$ donde $\frac {\partial p} {\partial \mu} = \frac {dp} {d\mu}= \frac {N} {V}$ bajo $T$ constante, como se deduce de la de Gibbs-Duhem relación. Así se obtiene:
$\left( \frac {\partial N} {\partial \mu} \right)_{V,T} = \left(V \frac {\partial \rho} {\partial p} \frac {\partial p} {\partial \mu} \right)_{V,T} = \left(V \frac {\partial \rho} {\partial p} \frac {N} {V} \right)_{V,T} = N \left(\frac {\partial \rho} {\partial p} \right)_{T}$