Cómo probar $A \subset B \iff A \cup B = B$

Question

Sean A, B dos conjuntos. Demostrar que $A \subset B \iff A \cup B = B$

Estoy pensando en utilizar el silogismo disyuntivo demostrando que $\neg \forall Y(Y \in A).$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo deben proceder los pasos de la prueba para que me lleve a esa premisa.

Edición: Gracias por la aportación. Para que sepas, tengo que demostrar esto usando la lógica de predicados.

Answer 1

Tomar el camino "más largo". Repasemos las definiciones:

1. $A\subseteq B$ si y sólo si por cada $x\in A$ , $x\in B$ .
2. $x\in A\cup B$ si y sólo si $x\in A$ o $x\in B$ .
3. $A=B$ si y sólo si $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$ .
4. $P\iff Q$ significa que si asumimos que $P$ se mantiene, entonces $Q$ debe mantenerse; y viceversa.

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Supongamos ahora que $A\subseteq B$ . Esto significa que por cada $x\in A$ tenemos $x\in B$ . Queremos demostrar que $A\cup B=B$ .

• Así que tomamos $x\in B$ entonces $x\in A$ o $x\in B$ y por lo tanto $x\in A\cup B$ .

• Ahora toma $x\in A\cup B$ queremos demostrar que $x\in B$ . Por definición $x\in A$ o $x\in B$ .

  • Si $x\in B$ hemos terminado.
  • Si $x\in A$ entonces por la suposición de que $A\subseteq B$ tenemos que $x\in B$ .

  De cualquier manera tenemos que $x\in B$ .

Hemos demostrado que si $A\subseteq B$ entonces $A\cup B\subseteq B$ y $B\subseteq A\cup B$ que es por número de hecho $3$ para decir $A\cup B=B$ .

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Ahora tenemos que suponer que $A\cup B=B$ y deducimos que $A\subseteq B$ . Así que tenemos que demostrar que si $x\in A$ entonces $x\in B$ .

Toma $x\in A$ para ser un elemento arbitrario. Porque $x\in A$ tenemos que $x\in A$ o $x\in B$ y por lo tanto $x\in A\cup B$ . Sin embargo, la hipótesis era que $A\cup B=B$ y por lo tanto tenemos que $x\in B$ como se quería.

Answer 2

Dejemos que $A\subset B$ . Desde $B\subset B$ tenemos $A\cup B\subset B$ . Claramente, $B\subset A\cup B$ . Por lo tanto, $A\cup B=B$ .

Dejemos que $A\not\subset B$ . Entonces hay un poco de $x\in A$ con $x\not\in B$ . Claramente, $x\in A\cup B$ . Por lo tanto, $A\cup B\neq B$ .

Answer 3

Estos son los primeros pasos (muy sencillos) que deberías haber pensado para empezar:

En una dirección, supongamos $A\subseteq B$ Entonces $A\cup B\subseteq B\cup B\dots$

En la otra dirección, supongamos que $A\cup B=B$ Entonces $A\subseteq A\cup B\subseteq\dots$

Answer 4

Para la primera implicación un empate puede ayudarnos:

y ahora es evidente.

Ahora a la inversa, tenemos:

$A \cup B =B \Rightarrow$ $A \cup B \subset B \tag{1}$ y $B \subset A \cup B\tag{2}.$ Sólo necesitamos la relación $(1)$ que nos ayudan a concluir que: $A \subset B.$

Answer 5

Dejemos que $A\subseteq B$ .
Reclamación: Tenemos que demostrar $A\cup B\subseteq B$ y $B\subseteq A\cup B$

Dejemos que $x\in A\cup B$ . Entonces $x\in A$ o $x\in B$ . Pero $A\subseteq B$ . Por lo tanto, $x\in B$ . Por lo tanto, $A\cup B\subseteq B$ .

Ahora bien, a la inversa $x\in B$ . Entonces $x\in A\cup B$ . Por lo tanto, $B\subseteq A\cup B$ . Así, $A\cup B=B$ .

Considere $A\cup B=B$ .
Reclamación: $A\subseteq B$ Dejemos que $x\in A$ . Entonces $x\in A\cup B=B$ . Por lo tanto, $A\subseteq B$ .