De segundo orden no lineal de la ecuación diferencial

Question

$ y_n'' -nx\frac{1}{\sqrt {y_n}}=0$

Hay ningún método conocido para resolver este tipo de segundo orden no lineal de la ecuación diferencial?

Lo que he intentado resolver:

$ 2y_n'y_n''= 2nx\frac{y_n'}{\sqrt {y_n}}$

$ y_n'^2= 4nx\sqrt {y_n}-4n\int\sqrt {y_n} dx$

Después de que yo no podía ver ninguna manera de cómo proceder.

Por favor, consejos de qué hacer para resolver la ecuación diferencial.

Muchas gracias

Answer 1

En realidad pertenece a un Emden-Fowler ecuación.

En primer lugar, de acuerdo a http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0302.pdf o http://www.ae.illinois.edu/lndvl/Publications/2002_IJND.pdf#page=6 , todos los Emden-Fowler ecuaciones pueden ser transformados en Abel ecuación de la segunda clase.

Deje $\begin{cases}u=\dfrac{x^3}{y_n^\frac{3}{2}}\\v=\dfrac{x}{y_n}\dfrac{dy_n}{dx}\end{cases}$ ,

A continuación, $\dfrac{dv}{du}=\dfrac{\dfrac{dv}{dx}}{\dfrac{du}{dx}}=\dfrac{\dfrac{x}{y_n}\dfrac{d^2y_n}{dx^2}+\dfrac{1}{y_n}\dfrac{dy_n}{dx}-\dfrac{x}{y_n^2}\left(\dfrac{dy_n}{dx}\right)^2}{\dfrac{3x^2}{y_n^\frac{3}{2}}-\dfrac{3x^3}{2y_n^\frac{5}{2}}\dfrac{dy_n}{dx}}=\dfrac{\dfrac{x}{y_n}\dfrac{d^2y_n}{dx^2}+\dfrac{v}{x}-\dfrac{v^2}{x}}{\dfrac{3u}{x}-\dfrac{3uv}{2x}}=\dfrac{\dfrac{x^2}{y_n}\dfrac{d^2y_n}{dx^2}+v-v^2}{3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)}$

$3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}=\dfrac{x^2}{y_n}\dfrac{d^2y_n}{dx^2}+v-v^2$

$\dfrac{x^2}{y_n}\dfrac{d^2y_n}{dx^2}=3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v$

$\dfrac{d^2y_n}{dx^2}=\dfrac{y_n}{x^2}\left(3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v\right)$

$\therefore\dfrac{y_n}{x^2}\left(3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v\right)-\dfrac{nx}{\sqrt{y_n}}=0$

$\dfrac{y_n}{x^2}\left(3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v\right)=\dfrac{nx}{\sqrt{y_n}}$

$3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v=\dfrac{nx^3}{y_n^\frac{3}{2}}$

$3u\left(1-\dfrac{v}{2}\right)\dfrac{dv}{du}+v^2-v=nu$

$3u\left(\dfrac{v}{2}-1\right)\dfrac{dv}{du}=v^2-v-nu$

Deje $w=\dfrac{v}{2}-1$ ,

A continuación, $v=2w+2$

$\dfrac{dv}{du}=2\dfrac{dw}{du}$

$\therefore6uw\dfrac{dw}{du}=(2w+2)^2-(2w+2)-nu$

$6uw\dfrac{dw}{du}=4w^2+6w+2-nu$

$w\dfrac{dw}{du}=\dfrac{2w^2}{3u}+\dfrac{w}{u}+\dfrac{2-nu}{6u}$

De hecho, todos los Abel la ecuación de la segunda clase puede ser transformado en Abel ecuación de la primera clase.

Deje $w=\dfrac{1}{z}$ ,

A continuación, $\dfrac{dw}{du}=-\dfrac{1}{z^2}\dfrac{dz}{du}$

$\therefore-\dfrac{1}{z^3}\dfrac{dz}{du}=\dfrac{2}{3uz^2}+\dfrac{1}{uz}+\dfrac{2-nu}{6u}$

$\dfrac{dz}{du}=\dfrac{(nu-2)z^3}{6u}-\dfrac{z^2}{u}-\dfrac{2z}{3u}$

Por favor, siga el método en http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2.

Answer 2

Este es de hecho un Emden-Fowler ecuación , como se encuentran en EqWorld.

Polyanin proporciona una solución paramétrica a$\ y''=n\,x\,y^{-1/2}\ $$(2.3.1.11)$, en su libro "las Soluciones Exactas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias' : $$ \begin{align} x(t)&=a\;C_1\,e^{-t}\left(e^{3t}+C_2 \sin(\sqrt{3}t)\right)\\ y(t)&=b\;(C_1)^2\,e^{-2t}\left(2e^{3t}-C_2 \sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}C_2 \cos(\sqrt{3}t)\right)^2\\ &\quad\text{with}\ \ n=16\,a^{-3}\,b^{\frac 32} \end{align} $$

(usted puede encontrar esto también en Amazon búsqueda de $\ $Axy$\ $ y seleccionando la página 309)

De hecho, hay más constantes de lo necesario, y una de las constantes de $a,\ b,\ C_1$ puede ser establecido a $1$ sin la restricción de las soluciones. Para comprobar este conjunto $\ b:=d^2\ $ llegar $\ x(t)=(a\,C_1)^2\cdots$, $y(t)=(d\,C_1)^2\cdots\ $ con la restricción $n=16\bigl(\frac da\bigr)^3$, de modo que $d$ $a$ se definen a una multiplicativo constante, incluso sin $C_1$.

Para comprobar que la solución siempre "funciona" podemos evaluar : $$\frac {dy}{dx}=\frac {y'(t)}{x'(t)}=\frac {4 C_1 b}a e^{-t}\left(2e^{3t}-C_2 \sin(\sqrt{3}t)-\sqrt{3}C_2 \cos(\sqrt{3}t)\right)$$ $$\frac {d \frac {dy}{dx}}{dx}=\frac {16 b}{a^2} \frac{e^{3t}+C_2\sin(\sqrt{3}t)}{2e^{3t}-C_2 \sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}C_2 \cos(\sqrt{3}t} $$ que podemos comparar con $\dfrac {x(t)}{\sqrt{y(t)}}$ (la proporción debe ser $\frac {16\,b^{3/2}}{a^3}$)

Por supuesto detallada de la prueba sería mejor.

Esperando que esto ayudado de todos modos,