Estoy interesado en saber por qué la palabra 'normal' de los cultivos de tantas diferentes áreas de las matemáticas, especialmente pero no exclusivamente en álgebra abstracta, y cómo las definiciones están relacionadas, en todo caso.
Algunos ejemplos comunes son:
Un subgrupo $H$ de un grupo de $G$ es normal si $gHg^{-1}=H$ por cada $g \in G$.
Una extensión algebraica $L$ de un campo de $K$ es normal si cada polinomio en $K[X]$, con una raíz en $L$ se divide en $L$.
Un espacio topológico $X$ es normal si por cualquier discontinuo cerrado subconjuntos $A,B \subseteq X$ existen abiertos disjuntos subconjuntos $U,V \subseteq X$$A \subseteq U$$B \subseteq V$.
Un número real es normal si, en cada base $b$, cada uno de los dígitos de $0$ $b-1$ha asintótica de la densidad de $\frac{1}{b}$ en su base-$b$ expansión.
Un vector $v \in \mathbb{R}^3$ es normal para un $2$-colector $X$ en el punto de $p \in X$ si $\langle v, w \rangle = 0$ por cada $w \in T_p X$.
Una variable aleatoria $X : (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \to \mathbb{R}$ es normal si su función de densidad de probabilidad toma la forma $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left \{ -\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right \}$ algunos $\mu \in \mathbb{R}$$\sigma^2 > 0$.
Grupos normales y normales de campo extensiones están relacionados gracias a la teoría de Galois: si $F/K$ es una extensión de Galois con grupo de Galois $G$ $H \le G$ es un subgrupo normal si y sólo si $F^H/K$ es una extensión normal. Pero ¿qué hay de normal subgrupos normales y espacios topológicos, por ejemplo?
Hay una razón detrás de el uso de la palabra normal, o son los significados distintos, por haber evolucionado en campos separados por razones no relacionadas?
O, para cortar todo esto en una simple pregunta: ¿hay una bien definida la noción de "normalidad" en las matemáticas, y si es así, ¿qué es?
