¿Por qué la métrica euclidiana es la elección natural?

Question

Estoy tratando de encontrar una justificación para utilizar la distancia euclidiana en una aplicación mía. ¿Alguna idea de por qué es la elección fundamental?

Gracias

Answer 1

Empezando por el caso unidimensional: En ${\mathbb R}$ tenemos traducciones $t\mapsto t+a$ , $\, a$ fijas, y las reflexiones $t\mapsto -t$ como isomorfismos "geométricos" naturales. Una métrica invariante de traslación y reflexión es entonces necesariamente de la forma $d(x,y)=\phi\bigl(|x-y|\bigr)$ donde $\phi$ debe satisfacer algunas condiciones "técnicas" para que $d$ una métrica que además es compatible con la estructura topológica innata de ${\mathbb R}$ . Hay muchos de estos $\phi$ ; por ejemplo, la definición $d(x,y):=\tanh\bigl(|x-y|\bigr)$ se volvería ${\mathbb R}$ en un espacio métrico auténtico donde todas las distancias son $<1$ .

Pero en ${\mathbb R}$ tenemos un conjunto adicional de isomorfismos "geométricos", a saber, los escalamientos. Si queremos que nuestra métrica se comporte de forma razonable bajo escalamientos $T_\lambda: \ x\mapsto \lambda x$ , $\,\lambda>0$ fijada, entonces la única $\phi$ son las funciones $\phi(u)= cu$ , $\, c>0$ fijo, y también podemos elegir $c=1$ para que lleguemos a $d(x,y)=|x-y|$ .

Ahora el caso bidimensional: Consideraciones de simetría como las anteriores implican que debemos elegir una dirección dependiente $\phi:\ S^1\to {\mathbb R}_{>0}$ que es par y satisface una determinada condición de convexidad; entonces debemos poner $$d(x,y):=\phi\left({x-y\over |x-y|}\right)\ |x-y|\ .$$ Esta métrica es invariante de la traslación y se comporta correctamente bajo escalas.

Pero, de nuevo, en ${\mathbb R}^2$ se dispone de nuevos conjuntos de isomorfismos "geométricos", a saber, grupos compactos de un parámetro de "rotaciones". Si queremos que nuestro $d$ para ser invariante bajo tal grupo los únicos candidatos que quedan son de la forma $$\|x\|^2:=\bigl(d(x,0)\bigr)^2= x'Qx\ ,$$ donde $Q$ es una forma cuadrática definida positiva de las variables de coordenadas $x_1$ , $x_2$ . Introduciendo un sistema de coordenadas adaptado al $Q$ a mano llegamos entonces a $\|x\|^2=x_1^2+x_2^2$ es decir, la función de distancia euclidiana.

Answer 2

La norma euclidiana, $\|\cdot\|:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ es la más intuitiva de las normas, nos da la distancia en línea recta (tal y como estamos acostumbrados a pensar en ella), desde el origen hasta la posición definida por el vector en cuestión. La norma euclidiana se define como:

$$\|\vec{v}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{|v_{i}|^{2}}}$$

Hay, por supuesto, otras normas, como la del taxi, $\|\cdot\|_{1}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ definido como:

$$\|\vec{v}\|_{1}=\sum_{i=1}^{n}|v_{i}|,$$

Que como dice la wikipedia:

El nombre se refiere a la distancia que debe recorrer un taxi en una red de calles rectangulares para llegar del origen al punto $\vec{v}$ .

En efecto, podemos definir cualquier norma $\|\cdot\|_{x}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ :

$$\|\vec{v}\|_{x}=\sqrt[x]{\sum_{i=1}^{n}{|v_{i}|^{x}}}$$

Cuál de estas normas es la mejor para su aplicación depende de lo que intente medir exactamente. Necesitamos más información para darle una mejor idea de cuál de ellas debe utilizar para su aplicación. Para la mayoría de las aplicaciones (como juegos, paquetes CAD, etc., nos interesa la distancia en el mundo real, por lo que utilizaremos la norma euclidiana).