Ruta de acceso Local de la Conectividad y Conos

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $X$ ser un espacio topológico. $CX$ es localmente ruta de acceso conectado si y sólo si $X$ es localmente ruta de acceso conectado, donde $CX=X\times I/(X\times\{0\})$

Me parecen no avanzar demasiado en la dirección del problema.

Asumiendo $CX$ es localmente ruta de acceso conectado significa que existe una base $\mathcal{B}$ de manera tal que cada elemento de a $\mathcal{B}$ es la ruta de acceso conectado. Es fácil ver que $\mathcal{B}\cap X=\{X \cap B \: | \; B \in \mathcal{B}\}$ es una base para $X$. Yo no puedo ver por qué los elementos de $\mathcal{B}\cap X$ debe ser la ruta de acceso conectado. Deje $\hat{B} \in\mathcal{B}\cap X$ y dejar $p,q \in \hat{B}$. $p$ y $q$ se corresponden con $(p,1)$$(q,1)$, respectivamente, en $B$ desde $X\approx X\times\{1\}$. En $B$ no es un camino de $\alpha(t):[0,1] \rightarrow B$ tal que $\alpha(0)=(p,1)$$\alpha(1)=(q,1)$. Tal vez la solución es obvia, pero no puedo ver cómo activar una ruta en $B$ en un camino de $\hat{B}$ o, incluso, si que debería ser posible. Si $\alpha(t)$ no estaba completamente de $X \times \{1\}$, es la proyección de a $X\times \{1\}$ la solución?

También he golpeado una pared en el supuesto de $X$ es localmente ruta de acceso conectado. Como tal, existe alguna ruta de acceso conectado base $\mathcal{C}$$X$. Mi primer pensamiento determinado $x,y \in CX$ fue para encontrar una abierta cono de la forma $U\times I/(X\times \{0\})$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $X$, de tal manera que $x,y \in U\times I/(X\times \{0\})$. Ni siquiera estoy seguro de que esta es una base de $CX$ y no veo por qué debería ser.

En general, no tengo idea de cómo continuar. Son mis ideas, líder en la dirección correcta? Si no, alguien podría darme una recomendación en la dirección correcta?

Answer 1

Aquí está un rápido bosquejo del argumento. Me pueden elaborar más si lo desea.

Supongamos primero que $X$ es localmente ruta de acceso conectado. Tal vez usted sabe, y si no me animo a probar, que un determinado producto de forma local (ruta de acceso) espacios conectados localmente (ruta de acceso) conectado y la imagen de un local (ruta de acceso) conectado en el espacio con un cociente de mapa local (ruta de acceso) conectado. Poniendo estos dos hechos juntos muestra que $CX$ debe ser localmente ruta de acceso conectado.

Por cierto, tienes razón en cuestionar si su propuesta de base realmente es uno. En realidad no lo es (es evidente que usted no puede conseguir abrir establece que "no toque la base del cono" de su familia).

Por el contrario, asumen $CX$ es localmente ruta de acceso conectado. Su idea de la proyección de rutas de acceso a la base del cono es buena, pero tiene un pequeño problema. Si la ruta de acceso contiene el vértice del cono, obviamente, no puede proyectar en forma continua, por lo que tenemos que arreglar esto. Siento que es un poco más fácil trabajar con otra caracterización de la ruta de acceso local de la conectividad, es decir, que cada punto tiene una base de la ruta de acceso conectado barrios. Así que toma un punto de $x\in X$, que corresponde a $(x,1)\in CX$. Deje $U$ ser un barrio de $x$$X$. Entonces (ligeramente abusando de la notación) $U\times (1/2,1]$ es un barrio de $x$ $CX$ y no contiene el vértice del cono. Por supuesto, existe una ruta de acceso conectado barrio de $V$ $x$ bajo $U\times(1/2,1]$. La proyección de $V$ a $X$ nos da una ruta conectada barrio de $x$ $X$ bajo $U$ (recuerda que son, básicamente, en un espacio del producto ahora y proyecciones de mapas abiertos).