Encontrar la división de campo de la $f(x)$

Question

Estoy tratando de aprender la teoría de la división de los campos. Así que me fui a través de este ejemplo en un viejo examen: Encontrar la división de campo de $K$ $f(x)$ $\mathbb{Q}$ $f(x)=x^6-9$

$x^6-9=(x^3-3)(x^3+3)$ y por lo $\pm\sqrt[3]{3}$ es la única raíces reales. Cuando la definición de $w=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[3]{3}}{2} i$ tenemos que $w$ es una raíz de $x^2+x +1$ y, por tanto, una raíz de $x^{3}$$-$$1$ y así $\sqrt[3]{3}$$w$ es una solución y así es $\sqrt[3]{3}w^{2}$ desde $w^3=1$ $(w^2)^3=1$ y el mismo argumento vale para el real negativo de la raíz y por lo $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3},w)$ Es el argumento anterior correcta? O me estoy perdiendo algo? Es esta la forma en que siempre ir sobre la hora de encontrar la división de campo? Encontrar una raíz real y, a continuación, multiplicando con las raíces de la unidad? Lo que si no hay raíces reales? Yo estoy haciendo este curso de álgebra en mi propio campo y de las extensiones y de la división de campos es una parte que no entiendo. Así que por favor explique tan básico como sea posible y si usted sabe de alguna línea de conferencias sobre el tema, por favor les recomiendo a mí.

Answer 1

Sí, tu argumento es correcto (salvo que en la fórmula para $w$, desea $\sqrt3$, no $\root3\of3$). No, ese método no siempre funciona. Funciona para los "binomios", es decir, los polinomios de la forma $x^n-a$. Diferentes polinomios requieren diferentes métodos, algunos son más difíciles que otros, algunos realmente no puede ser realizada hasta llegar a los principales teoremas de la Teoría de Galois (e incluso entonces, las respuestas no pueden ser en la forma que quieras). Seguir estudiando, vas a desarrollar más herramientas a medida que avanza.