Complejo integral - número de la bobina

Question

Quiero encontrar %#% $ #%

bien número %#% de #% de la bobina es $$\frac{1}{2\pi i}\int _\gamma \frac{1}{z}dz$, que $0$

pero cuando yo explícitamente calcular el integral me sale

$2$$

¿Qué pasa aquí?

Answer 1

La parte imaginaria de logaritmo aumenta a medida que avanza alrededor del origen.
Es el ángulo entre z y el eje real positivo.
A medida que avanza alrededor de 3 a -1 a $\sqrt{2}$, que el ángulo aumenta de 0 a $\pi$$2\pi$. De modo que la parte imaginaria de $\log(\sqrt{2})$$2\pi$.
$\log x$ tiene un montón de valores complejos, de la misma manera que $\sqrt{x}$ tiene dos valores. Siguiendo el camino de $\gamma$, usted puede seguir el valor de la cual es relevante para el problema.
Piensa en ello como en un coche de varios pisos-parte. Va alrededor del origen pone en un nivel diferente.

Answer 2

Una exagerada idea para tratar de entender un poco más que la rama de corte cosita de la función logarítmica: tratemos de dividir el camino dado en varios semicírculos, dicen

$$\begin{align*}\gamma_1&:=\{z\in\Bbb C\;;\;|z-1|=2\;,\;\;\text{Im}\,(z)\ge 0\}\\ \gamma_2:&=\left\{z\in\Bbb C\;;\;\left|z-\frac{\sqrt2 -1}2\right|=(\sqrt2-1)^2\;,\;\;\text{Im}\,(z)\le 0\right\}\\ \gamma_3&:=\left\{z\in\Bbb C\;;\;\left|z-\frac{\sqrt2-\sqrt5}2\right|=(\sqrt2-\sqrt5)^2\;,\;\;\text{Im}\,(z)\ge 0\right\}\\ \gamma_3&:=\left\{z\in\Bbb C\;;\;\left|z-\frac{3-\sqrt5}2\right|=(3-\sqrt5)^2\;,\;\;\text{Im}\,(z)\le 0\right\}\end{align*}$$

Ahora, en cada caso obtenemos

$$\int\frac{dz}z=\text{Log}\,z$$

que makies cosas bastante simple...pero con una trampa, como ha sido ya explicado: cada vez que el (complejo) logaritmo completa todo un "giro" en torno a cero, debemos sumar (o restar, según el giro de la dirección) $\,2\pi\,$ a su argumento, así (Nota: Registro denota el complejo logaithm, registro de la real):

$$\begin{align*}\int\limits_{\gamma_1}\frac{dz}z&=\text{Log}\,(-1)-\text{Log}\,3=\pi i-\color{red}{\log 3}\\ \int\limits_{\gamma_2}\frac{dz}z&=\text{Log}\,\sqrt2-\text{Log}\,(-1)=\frac12\log2+2\pi i-\pi i=\color{green}{\frac12\log2}+\pi i\\ \int\limits_{\gamma_3}\frac{dz}z&=\text{Log}\,(-\sqrt5)-\text{Log}\,\sqrt2=\frac12\log5+3\pi i-\frac12\log2-2\pi i=\color{blue}{\frac12\log5}-\color{green}{\frac12\log2}+\pi i\\ \int\limits_{\gamma_4}\frac{dz}z&=\text{Log}\,3-\text{Log}\,(-\sqrt5)=\log3+4\pi i-\frac12\log5-3\pi i=\color{red}{\log3}-\color{blue}{\frac12\log5}+\pi i\end{align*}$$

Ahora agregar todos los anteriores y se obtiene, por supuesto, $\,4\pi i\,$ ...

Answer 3

Hay un par de problemas.

Uno de los problemas es en el uso de $\log(z)$ $z\in\mathbb{C}$. $\log(z)$ no puede ser definida como una función continua en todos los de $\mathbb{C}$. Esto es parte de la razón para la introducción de las Superficies de Riemann. La integración de $\frac1z$ a lo largo de un camino que rodea el origen de una vez, en contra de las manecillas da $2\pi i$; por ejemplo, una unidad círculo: $$ \begin{align} \oint\frac{\mathrm{d}z}{z} &=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}e^{it}}{e^{it}}\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{i\,e^{it}\,\mathrm{d}t}{e^{it}}\\ &=\int_0^{2\pi}i\,\mathrm{d}t\\ &=2\pi i \end{align} $$ Otro problema es que el contorno de los círculos el origen de dos veces en un sentido antihorario, de modo que la integral debe ser $4\pi i$.

Answer 4

Un problema relacionado. Sólo tenga en cuenta esto, se parametriza gamma como $z=re^{i\theta}$

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi}e^{-i\theta}ie^{i\theta}d\theta = 1. $$

Añadido: Lo que queda es simplemente multiplique la respuesta por 2 para obtener la respuesta deseada, ya que su curva rodea el origen dos veces hacia la izquierda.