Problema de una secuencia con múltiples integrales

Question

Cómo calcular el siguiente límite,

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \int_0^1 \ldots \int_0^1 \sin \bigg(\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\bigg)\,dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n$ ?

Apreciaré mucho si una solución sólo utiliza el análisis. Gracias.

Answer 1

Esta es quizás más fácil que la función arbitraria $f(x)$ en el ejemplo de los comentarios.

En primer lugar, tenga en cuenta que: $$ \begin{aligned} &\int_0^1 \int_0^1 \ldots \int_0^1 \sin \bigg(\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\bigg)\,dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n\\&=\Im{\left[\int_0^1 \int_0^1 \ldots \int_0^1 \text{exp} \bigg(i\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\bigg)\,dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n\right]}\\ &=\Im{\left[\prod_{j=1}^{n}\int_0^1 \text{exp} \bigg(i\frac{x}{n}\bigg)\,dx \right]}\\ &=\Im{\left[ \prod _{j=1}^{n}in\left(1-\text{exp}\left[\frac {i}{n}\right]\right) \right]}\\ &=\Im{\left[ \left(in\left(1-\text{exp}\left[\frac {i}{n}\right]\right)\right)^n\ \right]}\ \end{aligned} $$ entonces toma el límite: $$ \begin{aligned} \lim _{n\rightarrow \infty }\left(in\left(1-\text{exp}\left[\frac {i}{n}\right]\right)\right)^n&=\lim _{n\rightarrow \infty } \left( 2n\sin \left( \frac{1}{2n} \right) \right) ^{n}\text{exp}\left[\frac{i}{2}\right]\\ &=\lim _{n\rightarrow \infty } \left(1-\frac{1}{24n^2}+\dots\right) ^{n}\text{exp}\left[\frac{i}{2}\right]\\ &=\text{exp}\left[\frac{i}{2}\right] \end{aligned}$$ entonces toma la parte imaginaria para obtener:

$$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \int_0^1 \ldots \int_0^1 \sin \bigg(\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\bigg)\,dx_1 \,dx_2 \ldots \,dx_n=\sin{\frac{1}{2}}$$

que es la misma respuesta que obtendrías en el enlace de los comentarios.