¿Cuál es la diferencia entre los componentes de un vector y sus coordenadas?

Question

Algunos matemáticos me dijeron que los componentes y las coordenadas de un vector son cosas diferentes. Dicen que el vector $F^n$ siempre tiene N componentes pero las coordenadas dependen de la base escogida y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de coordenadas cuando la base no está especificada. ¿Pero acaso los componentes no dependen de la base? ¿Por qué se puede hablar de componentes sin importar la base? ¿Solo están demostrando su dominio al ser demasiado quisquillosos y hacer una diferencia entre cosas que son lo mismo, causando así confusión? Más tarde se burlaron de mi definición del espacio vectorial, donde digo que es una colección de vectores. Dicen que está equivocado ya que un espacio vectorial es un grupo Abeliano cuyos elementos pueden ser escalados. Pero yo no veo diferencia entre estas definiciones.

edición Si esta respuesta y Wikipedia son correctas entonces $\psi_i = \langle \psi|i\rangle$ en

$$\vec \psi = \begin{bmatrix}|1\rangle |2\rangle \cdots |n\rangle\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_n \end{bmatrix}$$

deben ser las coordenadas en la base $\begin{bmatrix}|1\rangle |2\rangle \cdots |n\rangle\end{bmatrix}$, la cual creo que es diferente de la base estándar. ¿Por qué la mecánica cuántica dice que $\psi_i$ son componentes en lugar de coordenadas? ¿Es incorrecto?

Operadores y Matrices de Miami también dicen

Ahora ves de dónde viene la ecuación definitoria de los componentes del operador. La Ecuación (7.7) es $$\sum_k u_k \vec e_k = \sum_i v_i \sum_k f_{ki} \vec e_k$$

En realidad, me motivé a hacer esta pregunta cuando intenté representar estas ecuaciones, que involucran integración, en forma vectorial y no entiendo por qué todos llaman a los coeficientes $u_k$ en $\sum u_k \vec e_k$ componentes en lugar de coordenadas. Me parece que los matemáticos usan estos términos indistintamente y molestan a los novatos con una diferencia inmaterial.

PD Dic 2013 Veo aquí

que componentes, $a_i \psi_i$ se contrastan con coeficientes $a_i$. ¿Son los componentes solo otro nombre para coordenadas o tenemos un tercer tipo de objeto?

Answer 1

Esta es una confusión tremendamente común, y en mi experiencia, la gente es notoriamente mala explicando este concepto. Lamento que hayas tenido que lidiar con personas que fueron abrasivas además de malos expositores.

En un espacio vectorial arbitrario, no se puede hablar de componentes. En realidad, no existen. Ahora, puedes imponerlos en un espacio de dimensión finita proporcionando una transformación lineal biyectiva del espacio vectorial arbitrario a $F^n$, pero entonces solo son eso: una imposición, porque cualquier otra transformación lineal biyectiva elegirá diferentes "componentes" potenciales.

Los componentes existen en $F^n debido a la naturaleza real de los objetos involucrados. Por lo tanto, no necesitas una base, puedes simplemente ver un objeto arbitrario $(a, b, \dots, n)$ y encontrar cualquiera de sus componentes, porque están integrados en el objeto. Esto puede ser confuso porque también escribimos vectores coordenados de esta manera, y cuando la base es la base estándar, no hay diferencia entre los componentes y las coordenadas. Sin embargo, en cualquier otra base, habrá una diferencia.

(Editar: Val hizo un punto importante en los comentarios. Debería haber sido más cuidadoso cuando dije que "no hay diferencia". De hecho, las coordenadas y los componentes nunca son conceptualmente iguales, pero quise decir que en el caso de la base estándar serán numéricamente iguales.)

Sin una base en absoluto, podrías decir que $F^n$ aún tiene coordenadas implícitas por sus componentes. Pero, en mi opinión, esto parece absurdo, ya que no puedes hacer lo mismo en otros espacios.

Entonces, la respuesta breve es: Sí, hay una diferencia, porque los componentes forman parte de los objetos.

En cuanto a tu noción de "colección de vectores", son básicamente lo mismo. Pero es fácil imaginar una colección de vectores que no es un espacio vectorial: por ejemplo, el círculo en $\mathbb{R}^2$. Definitivamente es una colección, y los objetos en ella son definitivamente vectores, pero no es un espacio vectorial.

Lo que supongo que quisiste decir con "colección" era lo que podríamos llamar una "colección estructurada significativamente", y la estructura significativa se describe precisamente como un grupo abeliano sobre el cual los elementos pueden ser escalados por objetos en un campo. En ese sentido, tu noción es correcta, aunque un poco menos transparente.

Answer 2

El espacio vectorial $F^n$ es el conjunto de todos los $n$-tuplas de elementos de $F$. Por lo tanto, dado un vector $(a_1, \dots, a_n) \in F^n$, podemos definir el $i$-ésimo componente de $(a_1, \dots, a_n)$ como $a_i$. Para definir el vector de coordenadas de un vector, necesitamos fijar una base ordenada $\beta = \{v_1, \dots, v_n\}$. Para cualquier $v \in F^n$, por definición, podemos encontrar escalares $c_1, \dots, c_n$ tales que

$$v = c_1v_1 + \dots + c_nv_n$$

Definimos el vector de coordenadas de $v$ con respecto a $\beta$ como

$$[v]_\beta = (c_1, \dots,c_n)$$

Nótese que si $\beta$ es la base estándar, tenemos $[v]_\beta = v$ para cualquier $v \in F^n$. Los vectores de coordenadas siempre se definen para vectores en un espacio vectorial con una base ordenada. Sin embargo, los componentes solo se definen en $F^n$.

Answer 3

Los componentes se utilizan para describir vectores generales en un espacio vectorial dado dentro de una base en términos de combinaciones lineales. Los componentes de un vector dado también son coordenadas en espacios vectoriales, ya que determinan de manera unívoca la posición. Pero al hablar en espacios más generales (como variedades) creo que nadie dice que una posición determinada tiene ciertos "componentes" en lugar de coordenadas.