Un subconjunto de un campo que es un subcampo

Question

Se puede comprobar que la siguiente afirmación es cierta: un subconjunto $S$ de un campo $F$ es un subcampo si $S$ contiene las identidades aditiva y multiplicativa 0 y 1, si $S$ es cerrado bajo adición, multiplicación, inversiones aditivas y $S-\{0\}$ es cerrado bajo inversiones multiplicativas. Un ejercicio consiste en demostrar que la condición $0,1 \in S$ puede sustituirse por la condición de que '' $S$ contiene al menos dos elementos". La pista que se da es ''Considera $ax=a$ .''

Supongamos que $S$ contiene al menos dos elementos distintos, por ejemplo $a,b$ . Por las hipótesis, $-a \in S$ Así que $a+(-a) =0 \in S$ . Al menos uno de $a,b$ es distinto de cero, digamos $a \ne 0$ . Entonces su inversa $a^{-1} \in S$ y así el producto $a a^{-1}=1 \in S$ . Así, $0,1 \in S$ . Esto resuelve el ejercicio. Mi pregunta es si hay otra solución que utilice la pista de considerar $ax=a$ .

Answer 1

Un posible uso de la pista es mostrar que $1 \in S$ utilizando lo siguiente:

Supongamos que $S$ tiene al menos dos elementos. Elige uno que no sea cero y llámalo $a$ . Consideremos el mapeo de $S\rightarrow S$ que envía $x$ a $ax$ . Como trabajamos en un campo $F$ la función es una biyección ya que tiene una inversa. (es decir, la función que envía $x$ a $a^{-1}x$ .) Así, la ecuación $ax=a$ tiene una solución en $S$ . Esta es también una solución en $F$ Así que $1=x \in S$ .

Creo que esto es probablemente lo que el autor tenía en mente, especialmente desde que la pista fue cambiada para proporcionar una manera diferente (probablemente más limpia) para mostrar que $1 \in S$ . Supongo que podrían haber tenido este enfoque en mente, ya que considerar la misma función es una buena manera de demostrar que cualquier dominio integral finito es un campo.