Mostrar que hay infinitamente muchos triples de números enteros $(a,b,c)$, que $2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997$

Question

(Cono Sur matemáticas Olimpiada - 1997) Mostrar que hay infinitamente muchos triples de números enteros $(a,b,c)$, que $2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997$.

Traté de atribuir un valor a $a$ o $b$ poner esta ecuación en la forma de la Pell, pero no tenía éxito.

Answer 1

Espero que lo que tenía en mente era este: como $1997 \equiv 5 \pmod {24}$ y es primo, puede ser escrito como $1997 = 2 \cdot 31^2 + 3 \cdot 5^2.$ tenga en cuenta que la forma $f(x,y)= 2 x^2 + 3 y^2$ representa todos los números primos $p=2,3$ y todos los $p \equiv 5,11 \pmod {24}.$

Así que la primera solución podría ser $$ (a,b,c) = (31,5,0). $$ El automorphism grupo de $2 a^2 - 5 c^2$ no es difícil. En realidad podemos encontrar todas las soluciones a $2 a^2 - 5 c^2 = 1922,$ pero no necesitamos. Para cualquier solución $$ (a,b,c) $$ para el problema original, hay una nueva $$ (19a + 30 c, b, 12 a + 19 c). $$ Así, una secuencia infinita de soluciones es $$ (31,5,0), $$ $$ (589,5,372), $$ $$ (22351,5,14136), $$ $$ (848749,5,536796), $$ y así sucesivamente.

Una secuencia diferente es $$ (5,28,9), $$ $$ (365,28,231), $$ $$ (13865,28,8769), $$ $$ (526505,28,332991), $$ y así sucesivamente.

Por el contrario, podemos variar el $3 b^2 - 5 c^2.$ Para cualquier solución $$ (a,b,c) $$ para el problema original, hay una nueva $$ (a,4 b + 5 c, 3 b + 4 c). $$ Mezclar juntos los dos Pell tipo de transformaciones nos da un gran lío o soluciones.