Espero que lo que tenía en mente era este: como $1997 \equiv 5 \pmod {24}$ y es primo, puede ser escrito como $1997 = 2 \cdot 31^2 + 3 \cdot 5^2.$ tenga en cuenta que la forma $f(x,y)= 2 x^2 + 3 y^2$ representa todos los números primos $p=2,3$ y todos los $p \equiv 5,11 \pmod {24}.$
Así que la primera solución podría ser
$$ (a,b,c) = (31,5,0). $$
El automorphism grupo de $2 a^2 - 5 c^2$ no es difícil. En realidad podemos encontrar todas las soluciones a $2 a^2 - 5 c^2 = 1922,$ pero no necesitamos. Para cualquier solución
$$ (a,b,c) $$ para el problema original, hay una nueva
$$ (19a + 30 c, b, 12 a + 19 c). $$
Así, una secuencia infinita de soluciones es
$$ (31,5,0), $$
$$ (589,5,372), $$
$$ (22351,5,14136), $$
$$ (848749,5,536796), $$
y así sucesivamente.
Una secuencia diferente es
$$ (5,28,9), $$
$$ (365,28,231), $$
$$ (13865,28,8769), $$
$$ (526505,28,332991), $$
y así sucesivamente.
Por el contrario, podemos variar el $3 b^2 - 5 c^2.$ Para cualquier solución
$$ (a,b,c) $$ para el problema original, hay una nueva
$$ (a,4 b + 5 c, 3 b + 4 c). $$ Mezclar juntos los dos Pell tipo de transformaciones nos da un gran lío o soluciones.