Considere la posibilidad de un triángulo con las longitudes de lados 3, 4 y 5. Por la fórmula de la Garza, su área es de $\sqrt{6(6 - 5)(6-4)(6 - 3)} = \sqrt{6(1)(2)(3)} = \sqrt{36} = 6$. Hay otros triángulos como este?
Respuestas
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Debido a un gusto por la simetría, nos vamos a los lados se $y-1$, $y$, y $y+1$. Utilizando la Fórmula de Heron, nos encontramos, exactamente como usted lo hizo, eso $\frac{3}{16}y^2(y^2-4)$ debe ser un cuadrado perfecto. Por lo tanto $y$ debe ser, incluso, decir $y=2s$. Así que queremos que $3(s^2-1)$ a ser un cuadrado perfecto, decir $(3t)^2$. Llegamos a la ecuación $$s^2-3t^2=1,$$ un ejemplo de una Ecuación de Pell.
En este caso, la ecuación tiene la solución fundamental $s_1=2$, $t_1=1$. Por la teoría general de la ecuación de Pell, las soluciones positivas $(s,t)$ están dadas por $$s=\frac{(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n}{2},\qquad t=\frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2},$$ donde $n$ rangos de los enteros positivos.
En nuestro caso estamos interesados principalmente en la $s$. Deje $s_0=1$$s_1=2$. Definir $s_n$ por la recurrencia $$s_{n+2}=4s_{n+1}-s_n.$$ Para el adecuado $t_n$, $(s_n,t_n)$ rangos de las soluciones positivas de la ecuación de Pell. Por ejemplo, $s_2=7$, dando $y=14$. Este es su a $x=13$. Continuando, llegamos $s_3=26$, e $s_4=97$. Estos dan sus valores calculados. Hay infinitamente muchos otros.
Comentario: La ecuación de Pell se aborda en la mayoría de las introducciones a la teoría de números. También hay un muy buen libro en la ecuación, Ed Barbeau.
rama-jka toti
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La fórmula general para el área de un triángulo cuyos longitudes de los lados son números enteros consecutivos se puede derivar de la siguiente manera: vamos x igual a la longitud del lado más pequeño. Los otros dos lados son entonces x + 1 y x + 2, y s (la mitad de la suma de los lados) es $\frac{3x + 3}{2}$. Restando cada uno de los tres lados de s y multiplicarse da
$$\sqrt{\frac{(3x + 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1)}{16}} = \frac{\sqrt{3(x+3)(x-1)(x+1)^2}}{4}.$$
Como estamos añadiendo y restando sólo los números impares en esta expresión, sólo los números impares, posiblemente, puede dar un número par (es decir, divisible por 4) en virtud de la radical, y por lo tanto sólo impar x puede producir un número entero.
Continuando en esta línea de razonamiento, $(x + 1)^2$ siempre será un cuadrado sin importar lo que x es. Además, ya que siempre será incluso (es decir, divisible por 2 al menos), ajustarlo siempre va a dar un número divisible por 4 (eliminando cualquier riesgo de que vamos a obtener un cuadrado perfecto en el numerador que no es divisible por 4) Esto significa que los otros tres factores que determinan la naturaleza del triángulo del área. Obviamente, debe ser un cuadrado para el radical para producir un número entero. Así que podemos concluir:
Dado un triángulo cuyas longitudes de los lados son números enteros consecutivos, en la que x es la longitud del lado más corto, el área será un número entero sólo si x es impar y $3(x+3)(x-1)$ es un cuadrado perfecto.
Después de haber probado casi cada número impar de menos de 200, lo he encontrado sólo cuatro triángulos, con longitudes de lados 3 (área 6), 13 (zona 84), 51 (área de 1170) y 193 (área de 16296). Sería bueno saber si hay algo más que puede generar estos números.
