Una vez que las matemáticas comenzó a tratar correctamente con infinidad de objetos que ya no era acerca de la realidad, sino sobre ideas abstractas.
Nuestro "natural" intuiciones (es decir, aquellos que tenemos de una pre-enseñanza de las matemáticas, son a menudo muy equivocado sobre el infinito, a la lista de algunos ejemplos:
- Los racionales son numerables;
- Los números reales son innumerables;
- Hay una cantidad no numerable de formas (hasta el isomorfismo) a fin de una contables establecidos;
- Hilbert del Grand Hotel.
La lista es infinita. Se pone aún más grande si usted desea considerar en los inicios de 1900 ojos donde el axioma de elección estaban siendo investigados a fondo.
Sin embargo las matemáticas ya no se trata únicamente de describir el mundo real, se trata de deducciones a partir de hipótesis. Una vez de aceptar que parece que muchos de los problemas con los infinitos disiparse, como se sigue de la definición.
Llega un nuevo problema con los fundamentos de la matemática, la independencia de las reclamaciones, en particular, el conjunto teórico. Cómo puede ser un conjunto contable en un modelo e incontables en otro? Me deja utilizar, una vez más, mi habitual analogías de la teoría de campo.
Supongamos $F$ es un campo (de características $0$ si usted lo prefiere). ¿Cuál es el tamaño de $\{x\in F\mid\exists n\in\mathbb N^+: x^n=1\}$
En los números racionales, la respuesta es $2$, en los números racionales con una unidad compleja de la raíz de la orden de $3$ la respuesta es $4$; en la clausura algebraica de los racionales, la respuesta es countably infinito. En los números complejos no aumentar el tamaño de este conjunto, pero hay mucho más trascendental de los elementos en el círculo unitario que ni siquiera se puede describir tan bien.
Tenga en cuenta que la teoría del campo no se puede expresar en una sola fórmula la noción de ser una unidad de raíz; pero puede expresar la noción de ser una unidad de la raíz de la orden, digamos, $72$ o menos. Esto nos debe dar suficiente ejemplos ($\mathbb Q$ tiene sólo dos; diferentes extensiones de cuatro, cinco, etc.) de un definidos y concretos establece que los cambios en el tamaño entre los modelos.
¿Por qué no se quejan cuando les dicen que "en este campo hay más unidad raíces que en ese campo"? Mi conjetura es que estamos siendo educados para aceptar que "todos los números de vivir en $\mathbb C$", por lo que algunos son racionales, algunos son algebraicas, etc. y por lo tanto diferentes campos tienen una cantidad diferente de la unidad de raíces.
Pero la teoría de conjuntos trata con conjuntos, esta es una sorpresa que los diferentes modelos de establecer la teoría de que tienen diferentes conjuntos y si se pasa de un modelo a un modelo más pequeño podemos perder parte de la información? No. Si vas a estudiar algo de la teoría de conjuntos axiomática de averiguar que no es de extrañar en absoluto. Es lo que cabría esperar, tanto como la forma en que puede perder parte de la unidad de raíces en pasar a un pequeño campo.
Ahora usted está pensando probablemente, "debe de estar engañando a mí en algún lugar, porque me siento completamente bien con la unidad raíz de ejemplo, pero es imposible para los conjuntos contables de aquí y de innumerables allí!". Así que siguiendo la lógica de primer orden, usted tiene que preguntarse ¿cuál es el lenguaje que se utiliza para describir los axiomas y el modelo. En el campo de la teoría esencialmente se describen las operaciones y los polinomios que tienen una solución en el campo. En teoría sólo tiene $\in$, pero puedes describir un más complicado criatura.
Es una sorpresa que tenemos computadoras y una ameba, tienen una sola célula? No, somos mucho más complicado de la criatura. La teoría de conjuntos es mucho más complicado, como una teoría, de la teoría de campo. No debe ser una sorprendente comprensión de que algunas de las cosas que se pueden decir acerca de los objetos en el universo son más complicadas. Dado que estas son complicados, a menudo parece que debe haber algún tipo de "canónica de respuesta", pero hasta ahora no hay ninguno. Si es bueno o malo, no lo puedo decir. Espero que no habrá una respuesta canónica porque me gusta la gran variedad de modelos, tanto como (supongo) de la gente que estudia teoría de la medida disfrutar de la gran cantidad de medidas y espacios que acompaña a las personas.
Voy a terminar con un último punto, Skolem tratado de mostrar en su paradoja, no que hay un problema inherente a la teoría de describir el mundo, sino que es un problema inherente con el uso de la lógica de primer orden para describir la teoría de conjuntos. Ya que pasa a ser, en realidad, dejó en claro la distinción entre "interno" y "externo" de los puntos de vista de la lógica.
