Supongamos $\mathcal{C}$ es una categoría tal que para cada a $c \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, el sector de la categoría $\mathcal{C}/c$ es equivalente a una pequeña categoría. Necesito mostrar que la categoría de presheaves $[\mathcal{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ es un elemental de topos.
Entiendo el argumento estándar utilizado al $\mathcal{C}$ es una categoría pequeña - por ejemplo, para la construcción de la exponencial $G^F$ de dos presheaves, se aplica el Yoneda lema y ver que estamos obligados a establecer $G^F (c) = \mathrm{Hom}(\mathbf{y}c \times F, G)$ donde $\mathbf{y}c = \mathrm{Hom}(-, c) : \mathcal{C}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ es el contravariante hom-functor. El principal obstáculo, entonces, para el uso de este argumento es que muestra que $\mathrm{Hom}(\mathbf{y}c \times F, G)$ es de hecho un conjunto bajo estos supuestos más débiles. Bueno, en realidad, yo primero tiene que demostrar que $\mathbf{y}c$ es en realidad un conjunto de valores functor... pero no es esta la misma como muestra de que la $\mathcal{C}$ a nivel local es pequeño? Es intuitivamente plausible que $\mathcal{C}/c$ equivalente a una pequeña categoría implica a $\mathcal{C}$ sí a nivel local es pequeño, pero me imagino que, a partir de la formulación del problema, que no es el caso.
