Notación para números surrealistas

Question

A riesgo de sonar ridículo, pero en la línea de "No hay quetsiones estúpidas": ¿Hay alguna forma de expresar $\omega_1$ (y en general $\omega_k$ con $k >= 1$ como un juego de Conway (es decir $<L|R>$ (L y R son las opciones izquierda y derecha). ¿Y hay alguna manera de hacerlo de manera que la suma, la multiplicación, etc. tenga sentido?

Puedo expresar $\omega_1 = < {i}_{i\in\mathbb{R}} | >$ que es esencialmente lo mismo que $< f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} |>$ donde $f$ es creciente ( ${i}_{i\in\mathbb{R}} = f(i)$ ), que no es exactamente una notación del juego de Conway. Creo que esto también roza una idea de Gonshor, expresar los surreales como mapas desde segmentos iniciales de ordinales a un conjunto de dos elementos). En general, he sustituido la secuencia $<0,1,2, ...|>$ de una de las formas de $\omega_0$ por una "secuencia" creciente donde el índice es un número real positivo.

Las preguntas son:

• La(s) pregunta(s) anterior(es) ?
• ¿Es mi idea correcta o al menos va en la dirección correcta?
• ¿Hay alguna otra forma de hacerlo? (por supuesto esta es una pregunta abierta si mi idea es errónea en primer lugar).

Y sí, me doy cuenta de que mi pregunta es un poco amplia y no tengo ni idea de en qué modelo se debe trabajar (ZF, ZFC, NBG, etc), ni sé cómo varía la respuesta con la elección del modelo).

Answer 1

Todo número ordinal $\alpha$ tiene una copia canónica como número surrealista $\hat\alpha$ cuyo conjunto izquierdo tiene como miembros $\hat\beta$ por cada $\beta\lt\alpha$ y cuyo conjunto derecho está vacío. Sucintamente, $$\hat\alpha=\{\ \{\hat\beta\mathrel{:} \beta\lt\alpha\ \}\mathrel{|} \}.$$

Se puede demostrar por inducción que $\alpha\mapsto\hat\alpha$ es isomorfismo de los ordinales con su orden y aritmética habituales al correspondiente suborden de los surreales.

Por ejemplo, para el caso del sucesor, $\alpha+1$ es el siguiente ordinal después de $\alpha$ y $\hat(\alpha+1)=\{\hat\alpha\mid\}$ es el siguiente surrealista después de $\hat\alpha$ o $\hat\alpha+1$ en los surreales.

En particular, $\omega_1$ estaría representado por el número surrealista $\hat\omega_1$ que creo que es muy diferente de los números surrealistas que propones.

Answer 2

Debo señalar que su expresión para $\omega_1$ no es realmente correcto; en parte porque la cardinalidad de los reales no es necesariamente $\aleph_1$ (esto es sólo la Hipótesis de Cantor, que por supuesto Paul Cohen demostró independientemente de ZF), pero sobre todo porque el número surrealista que has dado - $\langle i_{i\in\mathbb{R}}|\rangle$ - es en realidad igual a $\omega\stackrel{\mathrm{def}}{=}\omega_0$ (ejercicio: demostrar que quien juega primero en $\langle i_{i\in\mathbb{R}}|\rangle - \omega$ pierde). Como señala JDH más arriba, la forma estándar de definir los ordinales se copia en los surreales para dar definiciones surrealistas de $\omega_1$ , $\omega_2,$ etc.; en On Numbers And Games incluso se menciona esto de pasada, según creo. Dicho esto, AFAIK las operaciones aritméticas canónicas ( $\sqrt{}$ etc.) son relativamente aburridos en los ordinales de mayor cardinalidad; en efecto, sufren de (como yo lo entiendo - ¡este no es realmente mi campo!) problemas de predicatividad. Tal vez quieras echar un vistazo a la página de Wikipedia sobre (una) 'Función de colapso ordinal' - hay un vínculo bastante estrecho entre las definiciones surrealistas de varios 'números' relacionados con los ordinales y las notaciones ordinales canónicas que se discuten allí.