Notas
La forma explícita de en el límite inferior de esta respuesta puede estar equivocado. En la actualización de los resultados numéricos de la Marca, se puede producir una configuración con un $r$ menor que el límite inferior de aquí. Parece que la restricción en uno de los puntos (el candidato más probable es punto de $F$) es redundante. Esencialmente estamos de nuevo al cuadrado uno.... C'est la vie....
Por favor, considere esto como un suplemento a la Marca H la respuesta.
En Marcos, la respuesta de los centros son aproximadamente simétrica en la dirección horizontal.
Si uno calcular el diagrama de Voronoi asociados con estos centros, se obtiene una figura
se ve más o menos lo que se muestra a continuación.
$\hspace0.75in$ ![Voronoi diagram in first quadrant]()
Los puntos de $A, B, C, D$ los $4$ de los centros en el primer cuadrante.
Las líneas naranjas son los límites de las celdas de Voronoi. Los puntos
$E, F, G, H, I$ son las intersecciones de los límites de estas células, y el semi-círculo. Deje $O = (0,0)$$X = (1,0)$.
La observación clave es la distancia (los ilustrados en color rosa) entre estos puntos
son todos más o menos iguales. Si el algoritmo de Marca de la respuesta de la convergencia a la configuración de los centros, que configuración debe ser un mínimo local de la máxima distancia mínima funcional. Esto significa que estas distancias deben ser iguales entre sí exactamente. es decir,
$$|AX| = |AE| = |AF| = |AG| = || = |BF| = |BH|\\
= |CF| = |CG| = |CH| = |CI| = |DH| = |DI|$$
Para encontrar una configuración de ese tipo, lo primero que relajar la restricción de que $D$ se encuentra en $y$-eje. Asumimos $A$ se encuentra cerca de lo que está en Marcar la respuesta.
Deje $r$ ser los valores comunes de arriba $13$ distancias. Deje $A = (1-u,v)$$B = (0,w)$. La condición de $|AX| = r$ conduce a $r^2 = u^2 + v^2$.
Luego procedemos a expresar las posiciones de $E, F, G, C, H, I$ (en ese orden) y, finalmente, $D$ en términos de estas 3 variables $u,v,w$.
Aparte de la fórmula de $I$$D$, no se que es horrible.
- $|AE| = r$ implica $E = (1-2u,0)$.
- $|BE| = r$ conduce a
$$w^2 + (1-2u)^2 - u^2 - v^2 = 0\tag{*1}$$
- $|AE| = |BE| = |AF| = |BF|$ implica $F = A + B - E = (u,v+w)$.
- $|AX| = |GX|$ $|OX| = |OG|$ implica
$$G = \verb/Refl/(a,X) =
\left(\frac{2(1-u)^2}{v^2+(1-u)^2}-1,\frac{2(1-u)v}{v^2+(1-u)^2}\right)$$
donde $\displaystyle\;\verb/Refl/(\vec{U},\vec{V}) = 2\frac{\vec{V}\cdot\vec{U}}{|\vec{U}|^2}\vec{U} - \vec{V}$ mapas punto de $V$ a su imagen en el espejo con respecto a $OU$.
- $|AF| = |AG| = |CF| = |CG|$ implica
$$C = F + G - A = \left(\frac{2(1-u)^2}{v^2+(1-u)^2}+2u-2,w+\frac{2(1-u)v}{v^2+(1-u)^2}\right)$$
$|BF| = |BH| = |CF| = |CH|$ implica
$$H = B + C - F =
\left(\frac{2(1-u)^2}{v^2+(1-u)^2}+u-2,w+ \frac{2(1-u)v}{v^2+(1-u)^2}-v\right)$$
$|CG| = |CI|$ $|OG| = |OI|$ implica $ I = \verb/Refl/(C,G) = $ un horrible desastre!
- $|CH| = |CI| = |DH| = |DI|$ implica $D = H + I - C = $ otro horrible lío!
Si queremos volver a poner la restricción de que $D$ se encuentra en el $y$-eje, se obtiene
$$((u-1)v^2+u^3-u^2-u+1)w^2 + (4u^2-8+4)vw\\
+ (4u^3-4u^2-4u+4)v^2 + 4u^5-12u^4+12u^3-4u^2\\
= 0\etiqueta{*2}$$
Podemos eliminar $w$ mediante el cálculo de la resultante entre los dos polinomios en $(*1)$$(*2)$.
La resultante tiene la forma $(u-1)^2f(u,v)$ donde $f(u,v)$ es un polinomio de grado $8$$u, v$.
Podemos simplificar esta expresión un poco por un cambio de variable.
Deje $(u,v) = (rs, r\sqrt{1-s^2})$,
la condición se convierte en
$$\begin{align}
g(r,s) \stackrel{def}{=} &\;\; f(rs,r\sqrt{1-s^2})\\
= &\;\;16r^6s^4+(-16r^7-32r^5-16r^3)s^3+(24r^6+48r^4+24r^2)s^2\\
&\;\; + (8r^7-24r^5-40r^3-8r)s+r^8-12r^6+22r^4+4r^2+1\\
= &\;\; 0
\end{align}
$$
Para completar nuestra tarea, tenemos que encontrar el punto a lo largo de la curva de $g(r,s) = 0$
con un mínimo de $r$. En ese punto, el vector tangente de la curva se apunta en el $s$-dirección. Esto significa $\frac{\partial g}{\partial s}(r,s) = 0$ en ese punto en particular.
Podemos eliminar $s$ mediante el cálculo de la resultante entre el$g(r,s)$$\frac{\partial g}{\partial s}(r,s)$. La resultante es bastante simple
$$-1048576 r^{18} (r^2-1)^{12} (27r^8 - 324 r^6 - 270 r^4-36 r^2 + 11)$$
La eliminación de la imposible valores de $0$$1$$r$, el local extremium
de máxima-mínima distancia funcional debe ser una raíz de la ecuación de cuarto grado:
$$27r^8 - 324 r^6 - 270 r^4-36 r^2 + 11 = 0$$
La solución de esta ecuación y comparar los valores numéricos podemos encontrar de la Marca de la respuesta de la $r$ buscamos es igual a
$$r = \sqrt{ 3 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5 + \sqrt{27} - \frac{1}{\sqrt{27}}}} \approx 0.3719887399641683$$
y, al menos, esto es un mínimo local de la máxima distancia mínima funcional. Con esto, podemos numéricamente de vuelta de los parámetros $u,v,w$
$$\begin{cases}
u &\approx 0.3259601005065833\\
v &\approx 0.1792362562035586\\
w &\approx 0.1312100460994327
\end{casos}$$
y la ubicación de los centros de
$$\left\{\begin{array}{lcll}
x_5 \leftrightarrow A & \approx & (0.6740398994934167,& 0.1792362562035586),\\
x_1 \leftrightarrow B & \approx & (0,& 0.1312100460994327),\\
x_3 \leftrightarrow C & \approx & (0.5198397097356646, & 0.6279149145866445),\\
x_2 \leftrightarrow D & \approx & (0,& 0.7661472706667444)
\end{array}\right.$$
