El límite existe y es igual a $1/4$. Podemos demostrar esto con un poco de equidistribución de la teoría. Dado un doble indexado secuencia $x_{j,n}$ de los números reales sobre $1\le j \le n$, diremos que este es equidistributed (mod 1) como $n\to\infty$ si
$$
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^nF(x_{j,n})=\int_0^1F(x)\,dx
$$
para todos los continuos $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ con el período 1. En particular, la función de $F(x)=\min_{k\in\mathbb{Z}}\lvert x-k\rvert$ satisface las propiedades necesarias de modo que, con $d_j$ como en la pregunta,
$$
\sum_{j=1}^nd_j = \sum_{j=1}^n\frac1nF\left(n\sqrt{1-(j/n)^2}\right)=\frac1n\sum_{j=1}^nF\left(\sqrt{n^2-j^2}\right).
$$
Por lo tanto, esta converge a $\int_0^1F(x)\,dx=1/4$ siempre que la secuencia $x_{j,n}=\sqrt{n^2-j^2}$ ($1\le j\le n$) es equidistributed mod 1 $n\to\infty$. Te voy a mostrar esta utilizando la siguiente instrucción.
Teorema: Vamos a $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ ser en casi todas partes diferenciables con irracional derivados. A continuación, la secuencia de $nf(j/n)$, $1\le j\le n$ es equidistributed mod 1 en el límite de $n\to\infty$.
La condición en el teorema significa que no es una medida cero subconjunto de $[0,1]$, fuera de la cual $f$ es diferenciable con $f^\prime$ irracional.
Tenga en cuenta que la configuración de $f(x)=ax$ fijo irracional $a$ satisface los requisitos del teorema. Esto le da Weyl del teorema de equidistribución como un caso especial de el resultado anterior. Sin embargo, esto no quiere dar un enfoque alternativo para el teorema de Weyl, como voy a aplicar ese resultado en la prueba del teorema anterior.
Para responder a la pregunta que se hace aquí, podemos tomar $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ que $nf(j/n)=\sqrt{n^2-j^2}$ es equidistributed mod 1. Este es diferenciable en a $[0,1)$ $f^\prime$ estrictamente decreciente. Por lo tanto, $f^\prime$ sólo pueden golpear a cada número racional en más de una vez, por lo que sólo puede ser racional en countably muchos lugares. Por eso, $f^\prime$ es irracional en todas partes fuera de un cero a medida, y el teorema anterior se aplica.
Ahora voy a probar el teorema anterior, los principales ingredientes que se Van der Corput la desigualdad y la Weyl equidistribución teorema.
La idea de la utilización de Van der Corput la desigualdad proviene de Terry Tao de la entrada del blog en la equidistribución de polinomio de secuencias. Sin embargo, la forma dada no es lo suficientemente fuerte como para nosotros. Si $1\le H\le N$ son positivos y números de $\xi_n$ es una secuencia de números complejos es igual a cero en todas partes, excepto $1\le n\le N$, entonces la siguiente desigualdad se cumple
$$
\left\lvert N^{-1}\sum_n\xi_n\right\rvert^2\le 2H^{-2}\sum_{\lvert h\rvert < H}(H-\lvert h\rvert)N^{-1}\sum_n\xi_{n+h}\bar\xi_n.
$$
Este es sólo un caso especial de Lema 2.5 de Van Der Corput del Método Exponencial Sumas por s. w. Graham y G. Kolesnik (enlace a la vista previa que contiene la instrucción y prueba de ello).
Dado $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$, entonces, para cualquier positivos $N$, $\xi_{n,N}=\exp(2\pi iNf(n/N))$ $1\le n\le N$ $0$ en otros lugares. Para cualquier $h\ge1$, si definimos $g_N\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ $g_N(x)=\xi_{n+h}\bar\xi_n$ donde $n$ es el entero satisfacer $n/N\le x < (n+1)/N$ a continuación,
$$
N^{-1}\sum_{n=1}^N\xi_{n+h}\bar\xi_n=\int_{1/N}^{1+1/N}g_N(x)\,dx.
$$
Para cualquier $x$ en el rango $(0,1)$ a continuación, para todos los $N\ge1/x$, $g(x)=\exp(2\pi i h\epsilon^{-1}(f(n/N+\epsilon)-f(n/N)))$ donde$n/N\le x < n/N+\epsilon$$\epsilon=h/N$. Por eso, $g_N(x)\to\exp(2\pi iNf^\prime(x))$ donde $f$ es diferenciable. Si $f$ es derivable en casi todas partes, a continuación, la aplicación limitada de convergencia,
$$
N^{-1}\sum_{n=1}^N\xi_{n+h}\bar\xi_h\a\int_0^1\exp\left(2\pi si^\prime(x)\right)\,dx
$$
como $N\to\infty$. Para $h=0$ este límite es trivial, y un argumento similar puede ser aplicado para $h\le-1$ (o bien, aplicar el límite por encima de con $f(x)$ reemplazado por $f(1-x)$, $\xi_{n,N}$ sustituido por $\xi_{N+1-n,N}$, e $h$ reemplazado por $-h$). Así, el límite anterior se aplica para todos los enteros $h$. Ahora, sustituyendo el anterior límite en el Van der Corput la desigualdad,
$$
\begin{align}
\limsup_{N\to\infty}\left\lvert N^{-1}\sum_n\xi_{n,N}\right\rvert^2&\le2\int_0^1\sum_{\lvert h\rvert < H}H^{-2}(H-\lvert h\rvert)\exp\left(2\pi ihf^\prime(x)\right)\,dx\\
&=2\int_0^1\sum_{h=1}^HH^{-2}\sum_{\lvert k\rvert < h}\exp\left(2\pi i kf^\prime(x)\right)\,dx.
\end{align}
$$
Ahora, para cualquier fija $x$ tal que $f^\prime(x)$ es irracional, Weyl la equidistribución teorema dice que $\sum_{\lvert k\rvert < h}\exp(2\pi ikf^\prime(x))$ es de tamaño $o(h)$. Suma más de $1\le h\le H$ a continuación se da un plazo de tamaño $o(H^2)$. Así, el integrando en el lado derecho de la desigualdad anterior tiende a cero, como se $H\to\infty$ siempre $f^\prime(x)$ es irracional. Si $f^\prime(x)$ es irracional en casi todas partes, a continuación, delimitada convergencia implica que la integral tiende a cero. Así, hemos demostrado que
$$
N^{-1}\sum_{n=1}^N\exp\left(2\pi iNf(n/N)\right)\a 0
$$
como $N\to\infty$. Aplicando el mismo resultado a $af(x)$ por entero distinto de cero $a$ muestra que
$$
N^{-1}\sum_{n=1}^NF(Nf(n/N))\to0=\int_0^1F(x)\,dx
$$
para $F(x)=\exp(2\pi iax)$. Uniforme de aproximación por series de Fourier se extiende de este a todas continua $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, mostrando equidistribución mod 1 de $Nf(n/N)$$1\le n\le N$$N\to\infty$.
