La prueba de que $\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$

Question

Normalmente yo sólo mirar o recordar que $\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$ o de tipo "$\cos(\pi/4)$" en WolframAlpha para comprobar la respuesta.

Pero, ¿qué acerca de la primera vez que alguien quería saber lo $\cos(\pi/4)$ fue? ¿Cómo podrían averiguar antes de tablas trigonométricas y WolframAlpha?

¿Cómo se puede demostrar que $\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt2}{2}$?

Answer 1

El uso de un $45^\circ-45^\circ -90^\circ $ triángulo.

Answer 2

consideramos que una isósceles en ángulo recto triangel y tenemos, por definición, $\cos(\pi/4)=\frac{\frac{c}{2}}{a}$ e con $c=\sqrt{2}a$ tenemos $$\cos(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Answer 3

Primero de todos $$\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$$ por lo tanto $$\cos(\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{4})$$ En segundo lugar $$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$$ y así $$\sin^2(\frac{\pi}{4})+\cos^2(\frac{\pi}{4})=1\Leftrightarrow 2\cos^2(\frac{\pi}{4})=1\Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{4})=|\frac{\sqrt{2}}{2}|$$ Desde $\frac{\pi}{4}$ pertenece al primer cuadrante, a continuación, $$\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$$