Multiplicación de series de Taylor - expansión $2x\sin(x)$

Question

Estoy trabajando en un problema para la universidad de Cálculo 2. Estamos hablando de series de Taylor de derecho y necesito para aproximar la integral usando uno de una función que creo que debería ser fácil de producir una serie, pero no estoy 100% seguro. Esta es la función:

$$f(x) = 2x\sin(x)$$

Sé que la expansión de $\sin(x)$, que está en una tabla de referencia en el libro. Para dar los primeros términos se parece a esto:

$$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \;\cdots$$

Estoy bastante seguro de que sólo puede multiplicarse todo polinomio por $2x$, dando:

$$2x^2 - \frac{2x^4}{3!} + \frac{2x^6}{5!} - \frac{2x^8}{7!} + \;\cdots$$

Lo extraño es que no puedo encontrar ejemplos como este en cualquiera de los libros de texto o en internet... lo que me pregunto si esto no es en realidad una válida la manipulación. Además, me parece que no puede obtener una respuesta que coincida con esto de Wolfram Alpha.

Yo podría trabajar la serie de Taylor con la mano, sino los derivados de la función de inicio de conseguir un poco feo (por lo que me significa mucho), así que creo que voy a manipular un conocido de la serie ya que este debe ser un problema fácil.

Así que, estoy haciendo este derecho o estoy en el camino equivocado?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su enfoque es correcto. WolframAlpha devuelve la misma serie para la siguiente consulta:Series[2 x Sin[x],{x,0,8}]

Answer 2

Para la estimación de la integral de $2x\sin x$, se utiliza la serie de $\sin$ como se escribió anteriormente, multiplicado por $2$ $x$ como usted lo hizo.

Así

$$2x\sin x =2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+2}}{(2n+1)!}= 2x^2 - \frac{2x^4}{3!} + \frac{2x^6}{5!} - \frac{2x^8}{7!} \cdots $$

Luego nos integrar el sumando o término a término para obtener

$$ 2\int x\sin x\, dx= 2\sum_{n=0}^{\infty} \int\frac{(-1)^n x^{2n+2}}{(2n+1)!}\,dx= 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+2}}{(2n+1)!}\int x^{2n+2}\,dx= 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{3+2 n}}{(3+2 n) (1+2 n)!} $$

Esta suma puede ser utilizado para estimar la integral de $2x\sin x$ a una precisión deseada.

Para comprobar su resultado,

$$2\int x\sin x=-2 (x \cos(x)-\sin(x))$$