encontrar el $x$ : $(\cos 3x+\cos 4x)(\cos 3x +\cos x)=\frac{1}{4}$

Question

Encontrar el $x$ :

$$(\cos 3x+\cos 4x)(\cos 3x +\cos x)=\frac{1}{4}$$

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Mi intento :

$$\cos x +\cos y= 2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Así que..:

$$\left(2\cos \left(\frac{7x}{2}\right)\right) \cos \left(\frac{-x}{2}\right)\left(2\cos \left(\frac{4x}{2}\right)\right) \cos \left(\frac{2x}{2}\right)=\frac{1}{4}$$

$$\cos \left(\frac{7x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos (2x) \cos (x)=\frac{1}{16}$$

¿Y ahora qué?

Answer 1

Sea $\cos{x}=t$ .

Así, obtenemos $$(4t^3-3t+8t^4-8t^2+1)(4t^3-3t+t)=\frac{1}{4}$$ o $$(2t+1)(4t^2+2t-1)(16t^4-8t^3-16t^2+8t+1)=0.$$

$$16t^4-8t^3-16t^2+8t+1=0$$ podemos resolverlo de la siguiente manera $$\left(4t^2-t-\frac{3}{2}\right)^2-5\left(t-\frac{1}{2}\right)^2=0.$$

Creo que el resto es suave.

Creo que la siguiente manera un poco mejor.

Después de utilizar su trabajo tenemos que resolver $$16\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cos{x}\cos2x\cos\frac{7x}{2}=\sin\frac{x}{2}$$ o $$2\sin4x\cos\frac{7x}{2}=\sin\frac{x}{2}$$ o $$\sin\frac{15x}{2}+\sin\frac{x}{2}=\sin\frac{x}{2}$$ o $$\sin\frac{15x}{2}=0.$$ Ahora, tenemos que eliminar todas las raíces de $\sin{\frac{x}{2}}=0$ y escribir la respuesta.

Answer 2

Sustituyendo $\cos(t) = \dfrac{e^{it} + e^{-it}}{2}$ y dejando $y = e^{ix}$ lo tendrás:

$$\bigg(\cos(4x) + \cos(3x)\bigg)\bigg(\cos(3x) + \cos(x)\bigg) = \frac{1}{4}$$ $$\bigg(y^4 + y^{-4} + y^3 + y^{-3}\bigg)\bigg(y^3 + y^{-3} + y^1 + y^{-1}\bigg) = 1$$ $$\bigg(\sum_{k = -7}^7 y^k\bigg) + 1 = 1$$ $$\sum_{k = 0}^{14} y^k = 0$$ $$\frac{y^{15} - 1}{y - 1} = 0$$

Así que $e^{15ix} = 1$ y $e^{ix} \ne 1$ quedando las soluciones $x = \dfrac{2 \pi n}{15}$ para $n \in \mathbb Z$ y $15 \not \mid n$ . Supongo que es sólo la coincidencia de problemas artificiales que resultó ser una serie geométrica.