Adjunto izquierdo de un funtor representable

Question

Sea $\mathcal{C}$ una categoría con coproductos.

Muestra que si $G:\mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ es representable entonces $G$ tiene un adjunto izquierdo.

No logro entender esto ni por qué se requieren coproductos.

Por definición $G$ es naturalmente isomorfo a algún funtor hom $\mathcal{C}(X,-)$ pero no sé cómo continuar a partir de aquí.

Answer 1

Pista: Si $F$ es adjunto a la izquierda de $G$ (solo asume que existe por el momento), entonces $F(*) = X$, y $F$ preserva colímites, en particular coproductos. Ahora calcula $F(S)$ para un conjunto arbitrario $S$. Después de eso, muestra que, de hecho, $F$ definido por ... existe y es adjunto a la izquierda de $G.

Answer 2

Pista: Sea $G=\hom(X,-)$. Considera $F:Set\to C$ tal que $S\mapsto \cup_S X$ ($S$ copias de $X$).