Hace una topología en una contables conjunto siempre tiene una contables de la base?

Question

Soy bastante nuevo en la topología, y la tarea de la pregunta (que he resuelto sin saber la respuesta a esta pregunta me puso a pensar:

Si $X$ es una contables conjunto, y $\tau$ es una topología en él, no necesariamente tienen un contable?

Desde $\tau \subset 2^{X}$, puede tener un incontable número de conjuntos en ella, sino la base puede ser de un subconjunto muy pequeño de $\tau$, tan pura intuición dice que la respuesta es sí, pero no podía demostrarlo, y ahora no estoy seguro de que es cierto en absoluto.

Gracias!

Answer 1

http://en.wikipedia.org/wiki/Arens%E2%80%93Fort_space

esto se puede encontrar en "contraejemplos en la topología de" como se hace referencia en la página de la wikipedia (un libro a veces deseo que yo tenía)

Answer 2

Buena pregunta! Sospecho que la respuesta es no. Esta es mi sugerencia para un contraejemplo. Deje $U$ ser un nonprincipal ultrafilter en $\mathbb N$. Entonces me reclamación $U\cup\{\emptyset\}$ es una topología en $\mathbb N$, lo que sigue a partir de los axiomas de un ultrafilter. Ahora yo sospecho que esta topología no tiene una contables de base, principalmente porque no se $2^{2^{|\mathbb N|}}$ muchos ultrafilters, lo que implica que usted necesita para hacer una cantidad no numerable de opciones para especificar. Si usted puede conseguir lejos con la especificación de un contable, que sólo sería countably muchas opciones.

Edit: Yoyo acaba de publicar una respuesta definitiva.

Answer 3

La Hewitt-Marczewski-Pondiczery teorema implica que $[0,1]^{\mathbb{R}}$ en el producto topología tiene una contables subconjunto denso $D$. Esta $D$, como un espacio en su propio derecho (en la topología de subespacio) tiene una base local de tamaño mínimo $\mathfrak{c}$ en cada punto, es decir, su carácter en cada punto es $\mathfrak{c}$.