Necesito ayuda informática
$$ \frac{d}{dx}\prod_{n=1}^{2014}\left(x+\frac{1}{n}\right)\biggr\rvert_{x=0} $$
La respuesta es $\frac{2015}{2\cdot 2013!}$, sin embargo, no sé cómo llegar a esta respuesta. ¿Alguien tiene alguna sugerencia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Brevan Ellefsen
Puntos
3175
mrseaman
Puntos
161
Se le pide evaluar la derivada de un polinomio $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots $ al $x = 0$. Desde $f'(x) = a_1 + 2a_2 x + \ldots$, el resultado va a ser $a_1$. En su caso (por poner $N = 2014$) $a_1$ está dada por
$$ \sum_{n=1}^N\prod_{\begin{array}{c}m = 1\\m \neq n\end{array}}^N\frac{1}{m} = \sum_{n=1}^N \frac{n}{N!} = \frac{1}{N!}\sum_{n=1}^N = \frac{1}{N!}\frac{1}{2}N(N+1) = \frac{N+1}{2\cdot(N-1)!} $$
Doug M
Puntos
51
$\frac{d}{dx}\prod_{n=1}^{2014}\left(x+\frac{1}{n}\right) = \sum_\limits{i=1}^{2014} \prod_\limits{n\ne i}(x+\frac 1n)$
la evaluación en $x=0$ nos da
$\sum_\límites{i=1}^{2014} \prod_\límites{n\ne i}(\frac 1n)\\\prod_\límites{n\ne i}(\frac 1n) = \frac {i}{2014!}\\ \frac 1{2014!}\sum_\límites{i=1}^{2014} = \frac {(2015)(2014)}{2(2014!)} = \frac {2015}{2(2013!)}$
Kaj Hansen
Puntos
15355
Este gran producto es difícil de trabajar, pero podemos convertirlo en un fácil-a-trabajar-con suma al tomar ventaja de los logaritmos. Deje $\displaystyle f(x) = \prod_{n=1}^{2014} \left(x + \frac{1}{n} \right)$.
Regla de la cadena da $\displaystyle \Big(\ln(f(x)) \Big)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$, lo que significa que $f'(x) = f(x) \Big( \ln(f(x)) \Big)'$.
Una propiedad de los logaritmos nos dice que $\ln(f(x)) = \displaystyle \sum_{n=1}^{2014} \ln \left( x + \frac{1}{n} \right)$. La derivada de esto es $\displaystyle \sum_{n=1}^{2014} \frac{1}{x + 1/n}$. Ahora vamos a evaluar $f'(x)$ cero:
$$\displaystyle f'(0) = \left( \sum_{n=1}^{2014} n \right) \left( \prod_{n=1}^{2014} \frac{1}{n} \right)$$
Aplicar la famosa fórmula para la suma de los primeros a $n$ números naturales, y usted consigue lo que usted está buscando.
