En el libro Álgebra abstracta de J.Antoine Grillet existe el siguiente teorema:
Un anillo $R$ es noetheriano de izquierdas si y sólo si toda suma directa de módulos R de izquierda inyectivos es inyectiva
La propiedad noetheriana es el núcleo de la demostración de este teorema en el libro. Sin embargo, también conozco una proposición que dice que todo producto directo de módulos inyectivos es inyectivo. En el caso finito, el producto directo y la suma directa son lo mismo, así que la suma directa de módulos inyectivos también es inyectiva.
Por tanto, ya no necesitamos la propiedad noetheriana. ¿Estoy equivocado?
Por favor, explíquemelo. Gracias.
