Si $s(1)=1$ y $s(n)=s(n-1)+\text{lcm}[n,s(n-1)]-(-1)^n$ entonces $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{s(n)}{(n+1)!}=\frac{1}{e}$

Question

Definir la secuencia $(s(n))$ recursivamente por $s(1)=1$ y, para cada $n\ge2$ , $$s(n)=s(n-1)+\text{lcm}[n,s(n-1)]-(-1)^n.$$ Demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\frac{s(n)}{(n+1)!}=\frac{1}{e}$$

He sacado esta idea de un artículo escrito por Eric Roland sobre la relación de recurrencia en la generación de primos, la última parte del artículo es de donde viene la idea actual (Benoit Cloitre). Nos dimos cuenta de que esta secuencia converge a $e$ pero no sabemos cómo probarlo.

Answer 1

En primer lugar vamos a demostrar que $(n,s(n-1)) = 1$ por inducción. Obviamente, los primeros casos base se mantienen por simple cálculo. Ahora supongamos que $(k,s(k-1)) = 1$ para algunos $k \in \mathbb{N}$ . Supongamos ahora que $p$ es un divisor primo de $k+1$ entonces tenemos..:

$$s(k) \equiv s(k-1) + [k,s(k-1)] - (-1)^k \equiv (k+1)s(k-1) - (-1)^k \equiv (-1)^k \pmod p$$

De esto se deduce que $p\nmid s(k) \implies (k+1, s(k)) = 1$ . De ahí la prueba.

Ahora con un poco de retroceso obtenemos para $n$ impar que:

$$\frac{s(n)}{(n+1)!} = \frac{s(n-2)}{(n-1)!} - \frac{n}{(n+1)!} = \frac{s(n-2)}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n+1)!}$$

$$ = \frac{s(n-4)}{(n-3)!} - \frac{1}{(n-2)!} + \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} + \frac{1}{(n+1)!} = \frac{s(1)}{2!} + \sum_{i=3}^{n+1} \frac{(-1)^i}{i!} = \sum_{i=0}^{n+1} \frac{(-1)^i}{i!}$$

Del mismo modo, se puede obtener la misma fórmula para $n$ par (de nuevo tendremos menos delante de los términos Impares y más delante de los términos pares). Así que ahora:

$$\lim_{n\to \infty} \frac{s(n)}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^{n+1} \frac{(-1)^i}{i!} = \frac 1e$$

Como el LHS es en realidad la expansión en serie de Taylor de $f(x)=e^x$ evaluado en $x=-1$ .