Lo que es una buena clase de funciones para la delimitación y comparación de proporciones de complicado logaritmos?

Question

Tengo este goofy serie $\sum \limits_{n=2}^\infty \frac{ \log_2 \left[ n \log_2^2 n \right]}{n \log_2^2 n}$ que Wolfram Alpha me dice que diverge por la prueba de comparación (y, de hecho, en el mayor problema en el que estoy trabajando tengo que demostrar que la expresión que la contiene diverge), pero estoy luchando por encontrar un buen divergentes límite inferior.

Yo no puedo tirar todo el interior de los logaritmos, entonces me encuentro con el teorema $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_a x}{x^b} \rightarrow 0 \;\forall b > 0$.

Así que estoy mirando cosas como $\frac{\log_2 \left[ n^3 \right]}{n \log_2^2 n}$ (más grande, por desgracia), $\frac{\log_2 \left[ n^3 \right]}{n^2 \log_2 n}$ (converge), y $\frac{\log_2 \left[ n^2 \right]}{n \log_2^2 n}$ (demasiado grande).

Hay una clase más general o el formulario I puede utilizar para buscar un simple divergentes límite inferior, en lugar de puñaladas en la oscuridad?

Answer 1

La esperanza no es demasiado lejos fuera de tema, pero quisiera seguir @T. Bongers respuesta por compartir mi favorito comparación de los logaritmos y potencias. (Y es demasiado larga para caber en un comentario.)

Considere la gráfica de $y=x^{1/10}$. Se puede calcular que si $x=1000000$ $y$ es un poco menos de $4$. Imaginar el dibujo de la gráfica en una escala de $1$ unidad equivale a $1$ milímetro. Entonces, aunque la gráfica es siempre creciente, es como subir por una colina (si esa es la palabra correcta) que sube las $4$ milímetros más de un kilómetro de distancia. Esto es claramente una subida que no cuenta siquiera - que pensaría que era totalmente plana.

Por eso, $y=x^{1/10}$ aumenta increíblemente, casi inimaginable, poco a poco...

...pero $y=\ln x$ aumenta aún más lentamente que el!! Ciertamente, $\ln x$ es mayor que $x^{1/10}$ para valores pequeños de a $x$. Si usted dibujar gráficos en el mismo eje para decir $1\le x\le1000$, obtendrá un muy engañosa impresión - finalmente, $x^{1/10}$ tarda más y es más grande que $\ln x$.

¿Cuánto tiempo toma para que esto suceda? Bueno, con un poco de ensayo y error, usted puede encontrar que el punto de corte es de aproximadamente $x=4\times10^{15}$. Si usted (intentar) dibujar esto en una escala de $10$ centímetros para una unidad - apropiado para una pizarra en la clase que usted encuentra que el punto de corte es de alrededor de $3000$ veces más lejos que el sol!

Espero que esto ayuda a ilustrar cómo inimaginablemente lentamente (no he dicho "casi" esta vez) el logaritmo de la función crece.

Answer 2

Lema $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{\log_2 n}{n}$ diverge.

Prueba Por comparación a $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n}$.

Para $n\geq 2$, $\log_2 n \geq 1$. Por lo $\dfrac{\log_2 n}{n} \geq \dfrac{1}{n}$. Desde $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ diverge, $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{\log_2 n}{n}$ diverge.