Encontrar la raíz menos positiva

Question

Cómo encontrar la raíz menos positiva de la ecuación $\cos 3x + \sin 5x = 0$ ?

Mi enfoque hasta ahora es representar $\sin 5x$ como $\cos \biggl(\frac{\pi}{2} - 5x\biggr)$ entonces toda la ecuación se reduce a $$2\cos \biggl(\frac{\pi}{4} - x\biggr)\cdot \cos \biggl(\frac{\pi}{4} - 4x\biggr) = 0$$

Desde aquí podemos escribir:

$$\biggl(\frac{\pi}{4} - x\biggr) = n\pi + \frac{\pi}{2} , n \in \mathbb{Z}$$

$$\biggl(\frac{\pi}{4} - 4x\biggr) = n\pi + \frac{\pi}{2} , n \in \mathbb{Z}$$

Ahora bien, puede haber infinitas soluciones para esto, lo que no entiendo es cómo calcular el mínimo entre ellas. ¿Y qué pasa si se me pide que encuentre el máximo?

Answer 1

Ya has hecho lo más difícil. Ahora sólo tienes que encontrar todas las soluciones de $\cos(\pi/4-x)=0$ y $\cos(\pi/4-4x)=0$ y escoge el más pequeño de los positivos.

Answer 2

EDIT: Así que aparentemente quieres una solución completa...

Un producto de dos números reales es $0$ precisamente cuando un factor es $0$ , por lo que debe tener eso $$ \begin{align} & \cos\left(\tfrac{\pi}{4} - x\right) = 0 \qquad\;\; (1) \text{, or} \\\\ & \cos\left(\tfrac{\pi}{4} - 4x\right) = 0 \qquad (2). \end{align} $$ Ahora usamos eso $\cos a = 0 \iff a \in \tfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z}$ : $$ \begin{align} \cos \left(\tfrac{\pi}{4} - x\right) = 0 & \iff \tfrac{\pi}{4} - x \in \tfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z} \\\\ & \iff x \in \tfrac{3\pi}{4} + \pi \mathbb{Z}, \end{align} $$ el menor positivo $x$ satisfaciendo esto claramente siendo $\tfrac{3\pi}{4}$ . $$ \begin{align} \cos \left(\tfrac{\pi}{4} - 4x\right) = 0 & \iff \tfrac{\pi}{4} - 4x \in \tfrac{\pi}{2} + \pi\mathbb{Z} \\\\ & \iff 4x \in \tfrac{3\pi}{4} + \pi \mathbb{Z} \\\\ & \iff x \in \tfrac{3\pi}{16} + \tfrac{\pi}{4}\mathbb{Z}, \end{align} $$ el menor positivo $x$ satisfaciendo esto claramente siendo $\tfrac{3\pi}{16}$ . El problema se reduce ahora a elegir el más pequeño de dos números reales.