Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación $|5x^2 - y^2| = 4$

Question

En un trabajo que escribí como estudiante universitario, conjeturé que las únicas soluciones enteras de la ecuación $$|5x^2 - y^2| = 4$$ ocurren cuando $x$ es un número de Fibonacci y $y$ es un número de Lucas. Pude demostrar que cuando $x$ era un número de Fibonacci existía un número de Lucas $y$ tal que $|5x^2 - y^2| = 4$ . Esto se demuestra fácilmente con la identidad de Cassini $$F_{n-1}F_{n+1} - F_{n}^2 = (-1)^n$$

El reto es este... demostrar (o refutar) que estas son las ÚNICAS soluciones.

Por cierto, así es como he generado la ecuación diofantina. $$F_{n-1}F_{n+1} - F_{n}^2 = (-1)^n$$ $$F_{n-1}(F_{n}+F_{n-1}) - F_{n}^2 = (-1)^n$$ $$F_n^2 - F_{n-1}F_n-F_{n-1}^2+(-1)^n=0$$ porque $F_n \gt \frac{F_{n-1}}{2}$ $$F_n=\frac{F_{n-1} + \sqrt{F_{n-1}^2-4((-1)^n-F_{n-1}^2)}}{2}=\frac{F_{n-1} + \sqrt{5F_{n-1}^2+4((-1)^{n+1})}}{2}$$ Dejar $y= \pm \sqrt{5F_{n-1}^2+4((-1)^{n+1})}$ y $x=F_{n-1}$ tenemos $$y= \pm \sqrt{5x^2+4((-1)^{n+1})}$$ $$y^2= 5x^2 \pm 4$$ $$|5x^2 - y^2| = 4$$

Answer 1

Permítanme intercambiar $x$ y $y$ para mi propia conveniencia. Queremos resolver $$x^2 - 5y^2 = \pm 4$$ sobre los enteros.

Resolver estas ecuaciones corresponde a encontrar los elementos de la norma $\pm 4$ en el anillo entero cuadrático $\mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ donde la norma es la función dada por $$N(x+\sqrt{5}y) = (x+\sqrt{5}y)(x-\sqrt{5}y) = x^2 - 5y^2.$$

Encontrar estos elementos es un ejercicio de teoría algebraica de los números. El campo numérico real cuadrático $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ tiene $\mathbf{Z}[\omega]$ con $\omega = (1+\sqrt{5})/2$ como su anillo de enteros, y $\mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ es un subring de éste. El norma de campo en $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ coincide con la norma dada anteriormente para los elementos de $\mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ .

El lema I.7.2 de Neukirch Teoría algebraica de los números produce que hasta la multiplicación por unidades en $\mathbf{Z}[\omega]$ sólo hay un número finito de elementos de una norma dada en $\mathbf{Z}[\omega]$ . Desde $\mathbf{Z}[\sqrt{5}] \subset \mathbf{Z}[\omega]$ y las normas coinciden, hasta la multiplicación por unidades en $\mathbf{Z}[\omega]$ sólo hay un número finito de elementos de la norma $4$ en $\mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ .

Por Teorema de la unidad de Dirichlet el grupo de unidades de $\mathbf{Z}[\omega]$ tiene rango $1$ . Un generador de este grupo, o un unidad fundamental de $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ viene dada por $$\varepsilon = \frac{1+\sqrt{5}}{2},$$ que tiene norma $-1$ .

Dado que la norma de un elemento $\alpha$ es igual a la norma del ideal principal $(\alpha)$ es útil determinar el número de ideales de norma $4$ en $\mathbf{Z}[\omega]$ . Por esta respuesta a otra pregunta este número es $$\sum_{m|4} \chi(m) = \chi(1) + \chi(2) + \chi(4) = \left(\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{4}{5}\right) = 1 - 1 + 1 = 1.$$

Por lo tanto, si $\alpha, \beta$ son dos elementos de la norma $4$ entonces $(\alpha) = (\beta)$ Así que $\beta = u\alpha$ para una unidad $u$ . Es decir, hasta la multiplicación por unidades en $\mathbf{Z}[\omega]$ sólo hay un elemento $\alpha$ de la norma $4$ .

Toma $\alpha = 2$ entonces todos los elementos de la norma $4$ en $\mathbf{Z}[\omega]$ vienen dadas por $2\varepsilon^n$ para los enteros $n$ . Pero como $2\mathbf{Z}[\omega] \subset \mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ todos estos elementos pertenecen de hecho a $\mathbf{Z}[\sqrt{5}]$ . Por lo tanto, todas las soluciones a la ecuación original son los $(x_n, y_n)$ dado por $2\varepsilon^n = x_n + \sqrt{5}y_n$ .

De la identidad $\varphi^n = \frac{L_n + \sqrt{5}F_n}{2}$ de los números reales para los no negativos $n$ mencionado al final de esta sección del artículo de Wikipedia sobre los números de Lucas se deduce que $$2\varepsilon^n = L_n + \sqrt{5}F_n$$ para los no negativos $n$ .

Para los negativos $n$ se obtienen soluciones adicionales como $(1,-1)$ y $(-3,1)$ pero podría haberlos previsto desde el principio: si $(x,y)$ es una solución, entonces también lo son $(-x,y)$ , $(x,-y)$ y $(-x,-y)$ .

Debo mencionar que con SAGE se pueden hacer cálculos en $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ ,

K.<s> = QuadraticField(5)
eps = (1+s)/2 # = K.units()[0]
for n in range(0,15):
    print 2*eps^n

y también con los números de Fibonacci y Lucas:

for n in range(0,15):
    print (fibonacci(n), lucas_number2(n,1,-1))

Estos dos trozos de código dan la misma salida (hasta el formato).

Editar (01/11/14) : Una forma más elemental de ver que sólo hay un ideal de norma 4 en $\mathbf{Z}[\omega]$ es la siguiente:

El campo cuadrático $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ tiene un discriminante $5$ y no tiene incrustaciones complejas; por lo tanto, por esta desigualdad tenemos $N(I) \geq N(x)/\sqrt{5}$ para cualquier ideal $I$ y el elemento $x \in I$ . Desde $\mathbf{Z}[\omega]$ es un dominio Dedekind tenemos una factorización única de los ideales en primos. Para un primo $\mathfrak{p} \subset \mathbf{Z}[\omega]$ que se encuentra encima de $p$ obtenemos $N(\mathfrak{p}) \geq p^2/\sqrt{5}$ . Desde $p^2/\sqrt{5} > 4$ para $p > 2$ los primos de norma a lo sumo $4$ debe estar sobre $2$ . El polinomio mínimo $X^2 - X - 1$ de $\omega$ es irreducible mod $2$ Así que $2$ es inerte en $\mathbf{Z}[\omega]$ por el teorema de Kummer-Dedekind. Es decir, $(2)$ es el único primo con norma a lo sumo $4$ y su norma es exactamente $4$ . Por factorización única en primos y multiplicatividad de la norma, $(2)$ es el único ideal de norma $4$ en $\mathbf{Z}[\omega]$ .

Answer 2

EDIT, enero de 2015: El pequeño libro de Conway está disponible en http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf

También puse cuatro extractos relacionados, todos con el prefijo indefinido_binario, en OTROS . Dmitry dice que el ordenador zakuski está siendo retirado, espero que siga funcionando hasta finales de enero. Me gusta especialmente la presentación de Stillwell. Poner todo junto, para una forma Pell, de hecho cualquier forma $a x^2 + b xy + c y^2$ con $a > 0, \; b \geq 0, \; c < 0,$ pero $b^2 - 4ac$ no es un cuadrado perfecto, obtenemos un diagrama que muestra toda la información de Conway, junto con la $(x,y)$ como vectores columna, con una ilustración explícita del generador del grupo de automorfismo (propio), que es el mapeo $(x,y) \mapsto (9x+20y,4x+9 y). $

No me di cuenta de esto hace diez días. Hay una estructura explícita para representar un número mediante una forma cuadrática indefinida. Es el capítulo uno de la obra de Conway La forma cuadrática sensual. Hace poco escribí un pequeño programa y ya no cometo errores aritméticos simples en ellos.

Resulta que todas las apariciones de $\pm 4$ ocurren a lo largo del "río" para $x^2 - 5 y^2. $

---

---

Dada cualquier solución a $x^2 - 5 y^2 = \pm 4,$ obtenemos el mismo valor al cambiar $(x,y)$ à $$ (9x+20y,4x+9 y). $$ La matriz de dos por dos que provoca esta transformación (sobre vectores columna) es $$ A \; = \; \left( \begin{array}{rr} 9 & 20 \\ 4 & 9 \end{array} \right) , $$ que puede ver hacia la derecha del diagrama como las coordenadas del $1$ y luego el final $-5,$ colocados uno al lado del otro. El gran teorema es que todo el diagrama es periódico. Encuentro el conjunto finito de representantes dentro de un ciclo, aplico la transformación que escribí arbitrariamente muchas veces, y obtengo todo. Como no hay $xy$ término en $x^2 - 5 y^2,$ hay un simple $\pm$ simetría también.

Por lo tanto, todas las soluciones a $x^2 - 5 y^2 = \pm 4 $ son:

Imprimible:

+4: $$(2,0), (18,8), (322,144), (5778,2584), (103682,46368), (1860498,832040),\ldots, $$

-4: $$(-4,2), (4,2), (76,34), (1364,610), (24476,10946), (439204,196418),\ldots, $$

Primitivo:

+4: $$(3,-1), (7,3), (123,55), (2207,987), (39603,17711), (710647,317811), \ldots, $$

+4: $$(3,1), (47,21), (843,377), (15127,6765), (271443,121393), \ldots, $$

-4: $$(-1,1), (11,5), (199,89), (3571,1597), (64079,28657), (1149851,514229), \ldots, $$

-4: $$(1,1), (29,13), (521,233), (9349,4181), (167761,75025), \ldots, $$

Para cualquier posición en estas secuencias, existe una recursión de grado dos dada por

$$ a_{n+2} = 18 a_{n+1} - a_n. $$ Por ejemplo, $18 \cdot 29 - 1 = 521,$ entonces $18 \cdot 521 - 29 = 9349. $

Veamos, a las 15:21. Tanto Fibonacci como Lucas hacen lo mismo (por seis posiciones), como $$ F_{n+12} = 18 F_{n+6} - F_n, $$ $$ L_{n+12} = 18 L_{n+6} - L_n. $$ Por lo tanto, si las seis órbitas anteriores satisfacen las condiciones deseadas de Fibonacci/Lucas, es una prueba completa. Si es así, uno podría, con cuidado, intercalar las seis órbitas en orden numérico, quizás usando sólo las que tienen entradas estrictamente positivas. Veremos si eso funciona:

$$ (1,1),(3,1),(4,2),(7,3),(11,5), (18,8),$$ $$ (29,13),(47,21),(76,34),(123,55),(199,89), (322,144),$$ $$(521,233),(843,377),(1364,610),(2207,987),(3571,1597),(5778,2584), $$ $$(9349,4181),(15127,6765),(24476,10946),(39603,17711),(64079,28657),(103682,46368), $$ $$ (167761,75025),(271443,121393),(439204,196418),(710647,317811),(1149851,514229),(1860498,832040), $$ Sí. El único fallo es $(2,0),$ como $2$ no es un número de Lucas. CORRECCIÓN, FEB. 2015: como se comenta en otro lugar, parece bastante común que la gente defina el número de Lucas $L_0 = 2,$ http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number

Ummm; como puedes ver, $(x,y)$ y $(x,-y)$ pueden ser distintos en cuanto a las órbitas, las seis listas que escribí.

Hay mucho más que se podría decir; de todos modos, estas son todas las soluciones. El otro asunto, el "lema de la escalada", dice que los valores sólo aumentan (en valor absoluto) al salir del río. Las siguientes capas de valores son $\pm 11$ en la continuación de cada borde con un azul claro $6,$ y $\pm 19$ en la continuación de cada borde con un azul claro $10.$ Así que hemos hecho lo suficiente para atrapar a todos $\pm 4$ ya.

Answer 3

Si no hay suficientes conocimientos básicos, también podemos cacular directamente.

Si $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ resuelto $x^2-5y^2 = \pm 4$

$ 1 = \frac{x_0^2-5y_0^2}{x_1^2-5y_1^2}$

$ = \frac{x_0+\sqrt{5}y_0}{x_1+\sqrt{5}y_1} \cdot \frac{x_0-\sqrt{5}y_0}{x_1-\sqrt{5}y_1} $

$ = \frac{(x_0+\sqrt{5}y_0)(x_1-\sqrt{5}y_1)}{x_1^2-5y_1^2} \cdot \frac{(x_0-\sqrt{5}y_0)(x_1+\sqrt{5}y_1)}{x_1^2-5y_1^2} $

$ = \frac{(x_0x_1-5y_0y_1)+\sqrt{5}(y_0x_1-x_0y_1)}{4} \cdot \frac{(x_0x_1-5y_0y_1)-\sqrt{5}(y_0x_1-x_0y_1)}{4} $

$ = (\frac{x_0x_1-5y_0y_1}{4})^2+\sqrt{5}(\frac{y_0x_1-x_0y_1}{4})^2$

si $ y_0x_1-x_0y_1 = 0 \pmod 4 $ entonces $ (\frac{x_0x_1-5y_0y_1}{4},\frac{y_0x_1-x_0y_1}{4})$ satisfacer $x^2 - 5y^2 = 1$ que es la ecuación de Pell

para poder agrupar $(x,y)$ en un grupo diferente, (si existe)

$(4k_0,4k_1+2),(4k_0+2,4k_1)$

$(4k_0+1,4k_1+1),(4k_0+3,4k_1+3)$

$(4k_0+1,4k_1+3),(4k_0+3,4k_1+1)$

$(4k_0+2,4k_1+2),(4k_0+4,4k_1+4)$

Tenga en cuenta que $(4k_0+2,4k_1+2),(4k_0+4,4k_1+4)$ si existe, puede ser el mismo grupo que el anterior. Cuando $(4k_0+3,4k_1+3)$ sea el mismo grupo con $(4k_0+2,4k_1+2)$ y $(4k_0+1,4k_1+3)$ sea el mismo grupo con $(4k_0+2,4k_1+2)$ pero $(4k_0+1,4k_1+3)$ y $(4k_0+3,4k_1+3)$ nunca pueden estar en el mismo grupo, por lo que algún grupo puede no tener respuesta. Así que lo dividí.

---

La respuesta base para $x^2-5y^2=1$ es $(9,4)$

por lo que si $(x,y)$ es la respuesta para $x^2-5y^2=-4$ , ( $x^2-5y^2=4$ se puede resolver de la misma manera)

la siguiente respuesta de su grupo se obtendrá de $(x+\sqrt{5}y)(9+4\sqrt{5}) = (9x+20y) + \sqrt{5}(9y+4x)$ que es $(9x+20y,9y+4x)$

la respuesta anterior en su grupo se obtendrá de $(x+\sqrt{5}y)(9+4\sqrt{5})^{-1} = (9x-20y) + \sqrt{5}(9y-4x)$ que es $(9x-20y,9y-4x)$

sólo nos importa $x>0,y>0$ En cada grupo tenemos las soluciones positivas más pequeñas.

por lo que la respuesta más pequeña satisface $9x-20y \le 0$ ou $9y-4x \le 0$

$\frac{x}{y} \le \frac{20}{9}$ ou $\frac{x}{y} \ge \frac{9}{4}$

$\sqrt{5- \frac{4}{y^2}} \le \frac{20}{9}$ ou $\sqrt{5- \frac{4}{y^2}} \ge \frac{9}{4}$

$0.894427 \le y \le 8.04984 $

para que podamos probar $y$ de 1 a 8, y encontraremos la respuesta de 3 bases para $x^2-5y^2=-4$ , $(x,y) = (1,1),(4,2),(11,5)$

---

si $x^2-5y^2=4$ la desigualdad anterior se convierte en $\sqrt{5 + \frac{4}{y^2}} \le \frac{20}{9}$ ou $\sqrt{5 + \frac{4}{y^2}} \ge \frac{9}{4}$

$0<y \le 8$

para que podamos probar $y$ de 1 a 8, y encontraremos la respuesta de 3 bases para $x^2-5y^2=4$ , $(x,y) = (3,1),(7,3),(18,8)$

---

todas las demás respuestas pueden ser generadas por $(x+\sqrt{5}y)(9+4\sqrt{5})^n$ , $n$ puede ser un número entero positivo o negativo