El dominio de esta función es

Question

Antes de definir los números naturales, ¿cómo se puede definir la función sucesor? $S(x)=x\cup\{x\}$ es una función en _ en _?

En dos libros de texto que he visto, los autores presentan la función (antes de los naturales) diciendo: "para cada conjunto $x$, podemos definir el sucesor $S(x)$...". Pero eso no implica que el dominio de la $S$ contiene todos los conjuntos?

Algo divertido que "¿cuál es el dominio de la función sucesor?" es un título que no cumpla con este sitio web. (Supongo que si usted hace clic en enviar suficientes veces...)

Answer 1

Podemos definir la función sucesor en la clase de todos los conjuntos. En de hecho, podemos definir $S \colon V \to V, x \mapsto x \cup \{x\}$, donde $V$ es la clase de todos los conjuntos. Tenga en cuenta que esto puede ser hecho dentro de los ZFC: Mientras que $S$ no existe como un objeto en ZFC, tenemos que $S = \{ (x, x \cup \{x\}) \mid x \V \}$ es definible clase y los puede ser considerado como "clases virtuales" en ZFC. También tenga en cuenta que para cualquier set $D$, la función $S \restricción D \colon D \a S"D, x \mapsto x \cup \{x \}$ es un conjunto y, por tanto, un objeto en ZFC.

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edit: yo probablemente debería remarcar que, mientras que las clases virtuales son una forma práctica para lidiar con la debida clases en ZFC, hay algunos las limitaciones de este enfoque. Por ejemplo, las declaraciones de la forma "Para cada clase virtual ..." en general no formalizarse en ZFC y puede haber clases que no son virtuales, es decir, no son un colección de conjuntos que satisfacen una determinada, fórmula fija. Por ejemplo, el modelado de la relación $ \modelos := \{ (\phi, x) \mid \phi(x) \text{ es true } \}$ es demostrablemente no en una clase virtual.