Fibración de Hopf en coordenadas locales

Question

Tengo la siguiente tarea:

Consideremos la esfera unitaria $\mathbb S^3$ en $\mathbb R^4$ . Sabemos que $\mathbb CP^1\simeq \mathbb S^2$ (homeomórfico). Identificación de $\mathbb R^4$ con $\mathbb C^2$ tenemos una inclusión canónica $\imath: \mathbb S^3\rightarrow \mathbb C^2-\{0\}$ . Componiendo esta inclusión con la proyección canónica $\mathbb C^2-\{0\}\rightarrow \mathbb CP^1$ tenemos un mapa $h:\mathbb S^3\rightarrow \mathbb S^2$ llamada Fibración de Hopf. Escribe $h$ en coordenadas locales. Identificar $h^{-1}(p)\subseteq \mathbb S^3$ topológicamente.

Escribí la siguiente prueba:

Posible prueba: Tenemos un homeomorfismo $\phi:\mathbb CP^1\rightarrow \mathbb S^2$ dada por, $$ \phi([z_1, z_2])=(2\textrm{Re}(\overline{z}_1z_2), 2\textrm{Im}(\overline{z}_1z_2), |z_2|^2-|z_1|^2),$$ y una inclusión, $\imath:\mathbb S^3\rightarrow \mathbb C^2-\{0\}$ dada por. $$\imath(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1+ix_2, x_3+ix_4). $$ Si $z=(x_1, x_2, x_3, x_4)\in \mathbb S^3$ entonces podemos escribir $z=(z_1, z_2)\in \mathbb C^2-\{0\}$ donde $z_1=x_1+ix_2$ et $z_2=x_3+ix_4$ con $|z_1|^2+|z_2|^2=1$ . Por lo tanto, $$h(z)=(\phi\circ \pi)(z_1, z_2)=\phi([z_1, z_2])=(2\textrm{Re}(\overline{z}_1z_2), 2\textrm{Im}(\overline{z}_1z_2), |z_2|^2-|z_1|^2).$$

Problema: No sé si lo que he hecho ha sido escribir en coordenadas locales, ¿no? En cuanto a la identificación $h^{-1}(p)$ No fui capaz de hacerlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Sí. Lo que ha escrito es correcto. En lugar de ver $S^2\subset\Bbb{R}^3$ como usted, deje que $$S^3=\{(\alpha,\beta)\in\Bbb{C}^2: |\alpha|^2+|\beta|^2=1\}$$ $$S^2=\{(x,z)\in\Bbb{R}\times\Bbb{C}: x^2+|z|^2=1\}$$ $$S^1=\{z\in\Bbb{C}: |z|^2=1\}$$ Entonces $h:S^3\rightarrow S^2$ puede escribirse de forma ligeramente más compacta como $$h(\alpha,\beta)=(|\alpha|^2-|\beta|^2,2\alpha\bar{\beta})$$

Ahora vamos a las fibras $h^{-1}(p)$ .

Reclamación: $\, h(\alpha_1,\beta_1)=h(\alpha_2,\beta_2)\iff (\alpha_1,\beta_1)=(z\alpha_2,z\beta_2) \ \mbox{ for some } z\in S^1$ .

Consecuencia: cada fibra $h^{-1}(p)\simeq S^1$ ¡es un círculo!

Prueba de la reclamación: Si $z\in S^1$ entonces $|z|^2=z\bar{z}=1$ Así que $$h(z\alpha,z\beta)=(|z|^2|\alpha|^2-|z|^2|\beta|^2,2z\bar{z}\alpha\bar{\beta})=h(\alpha,\beta)$$

Viceversa, supongamos $h(\alpha_1,\beta_1)=h(\alpha_2,\beta_2)$ . En forma polar podemos escribir $$\alpha_k=r_ke^{i\theta_k}, \ \beta_k=s_ke^{i\phi_k} \quad (k=1,2)$$ Imponer las dos condiciones $(\alpha_k,\beta_k)\in S^3$ et $h(\alpha_1,\beta_1)=h(\alpha_2,\beta_2)$ obtenemos $$\begin{cases} r_1^2+s_1^2=r_2^2+s_2^2=1 \\ r_1^2-r_2^2=s_1^2-s_2^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} r_1=r_2 \\ s_1=s_2 \end{cases}$$ Además, tiene que ser $\theta_1-\theta_2=\phi_1-\phi_2$ lo que implica $\phi_1-\theta_1=\phi_2-\theta_2=\vartheta$ para un $\vartheta$ . Conclusión: $(\alpha_1,\beta_1)=(z\alpha_2,z\beta_2)$ donde $z=e^{i\vartheta}$ .

Edita: Algunas fibras proyectadas estereográficamente en $\Bbb{R}^3$ como se explica en los comentarios: