Dado ${u, v, w}$ es una base para $\mathbb{R}^3$ ¿Cómo puedo demostrar que $\{u + v + w, v + w, w\}$ ¿también es una base?

Question

Dado ${u, v, w}$ es una base para $\mathbb{R}^3$ ¿Cómo puedo demostrar que $\{u + v + w, v + w, w\}$ ¿también es una base?

He resuelto un problema similar en $\mathbb{R}^2$ (o al menos creo que lo hice :p).

Dado $\{u, v\}$ es una base para $\mathbb{R}^2$ , demuestran que $\{u + v, au\}$ también es una base.

Utilicé la definición de tramo para decir

$\implies cu + dv =\langle x, y\rangle $ (para $c, d$ en $\mathbb{R}$ )

Dejemos que $c = d + a^2$ (para $a$ en $\mathbb{R}$ )

$\implies (d + a^2)u + dv = \langle x, y\rangle $

$\implies d(u + v) + a(au) = \langle x, y\rangle $

$\implies \mathrm{span}(u + v, au) = \mathbb{R}^2$

A partir de ahí también demostré que este conjunto era linealmente independiente (empezando por poner $c$ y $d$ igual a cero) y concluyó que, al tener ambas propiedades en $\mathbb{R}^2$ Debe ser una base.

Así que me he devanado los sesos tratando de encontrar la forma de manipular los coeficientes para conseguir la nueva base de $\mathbb{R}^3$ pero no se me ocurre nada.

Me gustaría saber si el método que empleé para la $\mathbb{R}^2$ ¿la pregunta es aceptable? ¿Es la única manera de hacerlo? ¿Hay algún otro método que deba utilizar?

P.D. Pido disculpas por mi formato imperfecto. Todavía estoy aprendiendo. De alguna manera, seguí colapsando todos los espacios entre los símbolos.

Answer 1

La siguiente "respuesta" se aplica al título de su pregunta.

Una pista, demostrar que son independientes, es decir, dejar que $c_1,c_2,c_3$ sean escalares tales que $c_1(u+v+w)+c_2(v+w)+c_3w=0$ . Esto implica que $c_1u+(c_1+c_2)v+(c_1+c_2+c_3)w=0$ Ahora por la independencia de $u,v,w$ ¿qué puede concluir?

También se utiliza el hecho de que un conjunto de $n$ vectores en un $n$ -es una base si y sólo si el conjunto es independiente.

Answer 2

En su ejemplo se muestra que si $\{ u,v \}$ es una base para $\mathbb{R}^2$ entonces también lo es $\{ u+v , au \}$ (donde $a \neq 0$ (algo que parece haber olvidado), hay algo que parece estar fuera de lugar, aunque no puedo ubicarlo. La estrategia básica es la siguiente (e intentaré expresarla de la manera más general posible):

• Abarcando: Dado cualquier $w \in \mathbb{R}^2$ sabemos que hay escalares $b,c$ tal que $w = bu + cv$ . Ahora queremos encontrar escalares $r,s$ tal que $bu+cv = w = r(u+v) + s(au) = (r+sa)u + rv$ . Ya que hemos empezado con una base, debe ser que $b = r+sa$ y $c = r$ . Resuelve estas ecuaciones. (Esto equivale a resolver un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $r,s$ .)
• Independencia lineal: Supongamos que $r,s$ son escalares tales que $0 = r(u+v) + s(au) = (r+as)u + rv$ . Utilice la independencia lineal de la base original para concluir que $r = s = 0$ .

Answer 3

Tomemos los vectores de coordenadas en la base antigua , que son (1,1,1), (0,1,1) , (0,0,1) Son linealmente independientes ya que si los ponemos como filas de una matriz el rango es tres( están en forma escalonada). Entonces : los vectores son linealmente independientes si sus coordenadas en una base son linealmente independientes. Entonces, tienes 3 vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión 3, por lo que son una base del espacio.

Answer 4

Dejemos que $A=\{u,v\}$ y $B=\{u+v, au\}$ para algunos $a\ne 0$ . Entonces, se pueden escribir los elementos de $A$ como una combinación lineal de los elementos de $B$ y viceversa: $u = a^{-1} \cdot au$ y $v = 1\cdot(u+v) - a^{-1}\cdot au$ . Lo contrario es obvio. Ahora bien, esto significa que tanto $A$ y $B$ generan el mismo espacio vectorial y tienen la misma cardinalidad, por lo que si una es una base, la otra también lo es. Si $a=0$ , $B$ no puede ser una base.

Se puede aplicar fácilmente el mismo argumento en el $\mathbb{R}^3$ caso.

Answer 5

1) Demuestre que $u+v+w, v+w, w$ span $\mathbb{R}^3$ demostrando que $$u,v,w\in<u+v+w, v+w, w>$$

2) Para la independencia lineal se supone que $$ a\cdot(u+v+w) + b\cdot(v+w) + c\cdot w = 0$$ ¿Puedes reducir esto al caso de una ecuación en $u,v,w$ ?