¿Existe una función$f''(0)$ existe,$f'$ no es continua en$(-\delta,\delta)$

Question

¿Hay una función$f\colon(-\delta,\delta)\to\Bbb R$ que cumpla las siguientes condiciones (número real$ \delta\gt0$)?

(i)$f$ es diferenciable en$(-\delta,\delta)$;

(ii) la segunda derivada de$f$ existe en$0$, es decir,$f''(0)$ existe

(iii) hay una secuencia$\{x_n\}$,$-\delta\lt x_n\lt \delta$,$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$, tal que$f'$ no es continua$x_n$%.

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No puedo construir tal ejemplo

¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

La forma estándar de obtener una función que es diferenciable en todas partes (con derivada limitada) pero cuya derivada tiene un punto de discontinuidad es

ps

Ahora selecciona tu$$ g(x) = \begin{cases} 0 & x=0 \\ x^2\sin(1/x) & x\ne 0 \end{cases} $ sy define

ps

Esto coloca una discontinuidad de$x_n$ en cada$$ f(x) = x^2 \sum_{k=1}^\infty \frac{g(x-x_k)}{2^k} $, y el factor general de$f'$ exprime el rango de$x_k$ alrededor de$x^2$ para asegurarse de que$f'$ existe.