Supongamos que$\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kz^k$ y$\sum_{-\infty}^{\infty}b_kz^k$ convergen en$1/\sin(\pi z)$. Encontrar $b_k-a_k$.

Question

Supongamos que la de la serie de Laurent $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kz^k$ converge a $1/\sin(\pi z)$ al $0<|z|<1$, y supongo que el de la serie de Laurent $\sum_{k=-\infty}^{\infty}b_kz^k$ converge a $1/\sin(\pi z)$ al $1<|z|<2$. Encontrar, para cada entero $k$, una simple expresión para la diferencia de $(b_k-a_k)$.

Yo no sé muy bien por dónde empezar con este. Estaba pensando en eso $1/\sin(\pi z)$ sencilla pol $z=\pm 1$, por lo que podría ser capaz de decir $(z^2-1)\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_kz^k$ $(z^2-1)\sum_{k=-\infty}^{\infty}b_kz^k$ ambos convergen para $0<|z|<2$, pero no estoy muy seguro.

Yo también estaba pensando en usar de Euler representación de los productos para el seno de alguna manera, pero yo no podía entender cómo.

Cualquier ayuda es muy appreicated (sugerencias o consejos de preferencia). Gracias

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que$$\displaystyle f(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}$$ is holomorphic in the disc $ D '(0,2)$ and can be expanded in Taylor Series, with the formula for the $ n -$th coefficient $ f_n = \ dfrac {1} {n!} \ Left. \ Dfrac { d ^ nf (z)} {dz ^ n} \ right \ vert_ {z = 0}$. You know the Laurent series for the $ \ displaystyle - \ frac {1} {z} + \ frac {1} {z-1} + \ frac {1} {z +1}$ part, that gives you Laurent series for $ \ dfrac {\ pi} {\ sen \ pi z} $.