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¿Cuándo dos matrices tienen el mismo espacio de columna?

Recientemente comencé a aprender acerca de las matrices y saber por ejemplo que el eje de las columnas de una matriz a forman una base para el espacio columna de esta matriz.

Me parece que no puede averiguar cuando dos matrices tienen la misma columna de espacio. ¿No sería suficiente para demostrar que tanto las matrices tienen el mismo reducido echolon forma (como con el espacio nulo) y por lo tanto la misma base de la columna de espacio y por lo tanto de la misma columna en el espacio?

Alguien me puede ayudar en esto?

Editar: Tal vez otra pregunta: ¿cómo puede usted decir que dos matrices no tienen la misma columna el espacio? Puedo, por ejemplo, usar el hecho de que si dos matrices no tienen la misma dimensión de la columna en el espacio, que la columna de espacios no pueden ser iguales?

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Gregory Puntos 707

Deje $A, B \in \mathrm{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ dos matrices con $m$ filas $n$ columnas y las entradas en el campo de $\mathbb{K}$.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. existe una matriz invertible $P \in \mathrm{GL}_m(\mathbb{K})$ tal que $B = P A$;
  2. existe una secuencia finita de primaria de Gauss operaciones sobre las filas que se transforma $A$ a $B$;
  3. los subespacios de $\mathbb{K}^m$ generado por las filas de $A$$B$, respectivamente, son iguales.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

  1. existe una matriz invertible $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ tal que $B = A P$;

  2. existe una secuencia finita de primaria de Gauss operaciones en las columnas que transforma $A$ a $B$;

  3. los subespacios de $\mathbb{K}^n$ generado por las columnas de a$A$$B$, respectivamente, son iguales.

9voto

leoinfo Puntos 3364

Cuando se reduce una matriz, la dimensión del espacio de la columna permanece fija, por lo que si$A,B$ tiene la misma forma reducida de echolon, las dimensiones de los espacios de columna son iguales, pero los espacios de columna pueden no ser iguales:$$A=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}\hspace{10pt}B=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ $ Tienen el mismo formulario de echolon reducido, pero diferentes espacios de columna.
En general, la única manera de asegurarse de que dos matrices tengan el mismo espacio de columnas es reducirlas por columnas (a menos que ambas sean de rango completo).

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