Demuestre que no existe ningún elemento de orden 18 en $S_9$

Question

Demuestre que no existe ningún elemento de orden 18 en $S_9$ .

¿Cómo puedo demostrarlo? Creo que la idea es que los elementos de la forma: $(123456)(789)$ tienen el orden 6 como $\text{lcm}(6,3)=6$ . Elementos de la forma $(123456789)(10\,11)$ seguramente no existen en $S_9$ . Y no veo ninguna otra forma de llegar a la orden 18. ¿Cómo puedo probar esto rigurosamente?

Answer 1

Parece que ya sabes que el orden es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos. Para que el mínimo común múltiplo de un conjunto de números sea $2\cdot3^2$ , al menos uno de los números debe incluir un factor $3^2$ - pero la única partición de $9$ con esa propiedad es la que tiene una sola parte $9$ y en este caso el orden es $9$ no $18$ .

Answer 2

Un elemento $\sigma$ de $\mathfrak{S}_9$ da una partición de $9$ y $\text{ord}(\sigma)$ es el lcm de los elementos de la partición. Si $\text{ord}(\sigma)=18$ la partición contiene un múltiplo de $2$ y de $3$ ; se puede comprobar que el lcm asociado a dicha partición nunca es $18$ . (Sólo hay cinco particiones que cumplen esta condición).